Определение и свойства стохастического интеграла

Броуновское движение: , пусть

Процесс с нез. приращениями: ,

1)

2)

Пусть $ поток s-алгебры : " t - -измеримо

Независимость приращений вперед: для " - - не зависим от

Опишем класс подынтегральных функций, для которых Ито строил интегралы:

1) , - -измерим (т.е. согласованность с потоком)

2)

Речь идет о пространствах - квадрат нормы по мере произведения (вероятностная мера ´ мера Лебега).

Интеграл должен отвечать требованиям:

1) линейность:

2)

3) 1.

2. - изометрия, совпадение норм

Разобъем [0,T] на интервалы: и определим ступенчатые функции:

- при этом - -измерима

Будем аппроксимировать только в левом конце.

ОПР: Стохастический интеграл для ступенч. функций:

Лемма: для " f Î $ последовательность ступ.функций Î :

т.е. $ последовательность ступ.функций, которые аппроксимируют f.

Для " аппр.посл-ти предел будет один и тот же. Этот предел I (Т) называется стохастическим интегралом подынтегральной функции Î :