Тождества Вальда

Теорема (1-ое тождество Вальда):

Пусть - последовательность нез.о.р. СВ,

- поток s-алгебр, порожденный СВ , i = 1,2,…, k

t - момент остановки относительно : t Î N

Тогда (верхн. индекс суммирования случайный – это момент остановки)

Теорема (2-ое тождество Вальда):

Пусть - последовательность нез.о.р. СВ,

- поток s-алгебр, порожденный СВ , i = 1,2,…, k

t - момент остановки относительно : t Î N

Тогда

Теорема (фундаментальное тождество Вальда):

Пусть - последовательность нез.о.р. СВ, - хар. функция

- частичная сумма

t - момент остановки относительно

Тогда

9. Т-ма о числе пересечений субмартингалом полосы (a, b). Теорема (Дуба) о сходимости субмартингалов.

Интервал [ a, b ] рассмотренный во времени

Последовательность , k = 1,2,…, где = 0, а - -измеримо

Есть дискретные моменты времени, определим моменты остановки: пусть , а

- до пересечения уровня «a»

- после пересечения уровня «b»

Определим величину:

Пара моментов с нечетн. и четн. индексом называется пересечением полосы (a, b), а - число пересечений снизу вверх полосы (a, b) последовательностью до момента времени n.

Теорема (Т. Дуба о числе пересечений): пусть - субмартингал отн-но потока Þ

, где , - превышение уровня «a»

Теорема (Т. Дуба о сходимости субмартингалов):

пусть (, ) – субмартингал, Þ п.н. (с вер. 1) и

Следствия:

1) пусть £ 0 – неположительный субмартингал сходится с вер-тью 1

2) пусть ³ 0 – нетрицательный мартингал сходится с вер-тью 1

Лемма Бореля-Кантелли:

Пусть , k = 1,2,… - последовательность событий: ряд

Тогда с вер-тью 1 $ : " n > наступает