Переходная вероятность марковского процесса. Выражение конечномерных распределений через переходную вероятность

ОПР: пусть - случайный процесс,

- поток s-алгебры, порожденный процессом на интервале [ s, t ]

пусть , " А ÎB:

Тогда - называется марковским процессом.

ОПР: пусть $ неслучайная функция 3-х веществ-ных аргументов: и "АÎB

(*)

то функция Р называется переходной вероятностью марковского процесса.

Уравнение Чепмена-Колмогорова: для " трех моментов времени

Речь идет о вероятности перехода из точки x (в момент времени s) во множество А (в момент времени t). В любой момент времени v разбиваем ось на малые интервалы. Вероятность попасть в [y, y + dy] умножаем на вероятность попасть в множество А.

Смысл переходной вероятности в физике: (**)

Если значения процесса дискретны, то это так, но у нас непрерывный процесс.

УТВ: если функция - непрерывна по x, то (*) Þ (**):

Нач. распределения и двукратные переходные вер-ти полностью опред-ют марк. процесс.

Пусть , и нач. распред-я заданы в (×) : - ф.р. Þ " ÎB