double arrow

ТИПОВ ТЕОРИЯ—ТИТО



расслоение алфавита переменных на «типы», в резуль­тате к-рого множества (классы) и их элементы (вооб­ще — термины) следует рассматривать только в рам­ках определ. иерархии с условием, что тип элемента множества должен быть (на единицу) меньше типа самого множества, причем вместо переменной любого типа разрешается подставлять термы лишь того же типа. В такой системе известные парадоксы не возни­кают, хотя ею и не исключается возможность непреди­кативных определений со всеми вытекающими отсюда последствиями. [Парадокс Рассела в Т. т. не может быть сформулирован из-за ограничения на правило подстановки терминов и требования, согласно к-рому в любой (правильно построенной) (под) формуле Т. т. вида xi £ уj было бы £</.]

Известны и др. формулировки Т. т. (напр., «куму­лятивные» и «расслаивающиеся» системы), но эти раз­личия формулировок носят не принципиальный, а скорее технич. характер. Более существ, различия связаны со структурой и мощностью самой иерархии типов: наряду с системами, типы переменных к-рых пробегают лишь натуральный ряд чисел, рассматри­ваются и более сильные системы с трансфинитными иерархиями типов (о трансфинитных числах см. Тео­рия множеств). Представляют значит, интерес и частичные (под)системы Т. т. с конечными иерар­хиями типов; так, для формализации существ, фраг­ментов матем. анализа оказывается достаточной Т. т. второй ступени (исчисление предикатов второго по­рядка); правда, если требовать, чтобы содержатель­ные теоремы анализа формулировались непременно на предметном языке теории (а не только на ее мета­языке), то может понадобиться повышение типа си­стемы на 1—2 порядка.

Наряду с описанными выше системами т. н. п р о-с т о й Т. т. Рассел и Уайтхед в «Principia mathema-tica» (v. 1—3, Camb.—L.— Edin., 1910 — 13) ввели также разветвленную Т. т., в к-рой объекты внутри каждого типа делятся еще на уровни (слои): нек-рая исходная область индивидов состав­ляет нулевой уровень, а объекты, определяемые в терминах объектов не выше (г—1)-го уровня, со­ставляют t-й уровень. Разветвленная Т. т. позво­ляет рассматривать объекты со сколь угодно слож­ной схемой (предикативного) определения, но ис­ключает непредикативные определения (и тем самым возможность парадоксов семантических). Однако она не дает возможности рассматривать все объекты любого данного типа (напр., действительные числа) в качестве единого множества, так что многие из важнейших теорем матем. анализа либо не доказуемы (а иногда даже не формулируемы) в рамках такой теории, либо чрезмерно усложняются. С целью пре­одоления этого недостатка разветвленной Т. т. Рассел и Уайтхед постулировали в ней т.н. аксиом ы сводимости, согласно к-рым для каждой сово­купности объектов произвольного уровня имеется равнообъемная ей совокупность наинизшего (из сов­местимых с уровнем исходных объектов) уровня. Вве­дение аксиом сводимости, при всей привлекательности п простоте получающихся вариантов теории, вызвало критику концепции Рассела и Уайтхеда; большая часть оппонентов усматривала в них онтологиче­ские — и притом очень мало правдоподобные и трудно обосновываемые — допущения, противоречащие ло-гицистич. тезису о сводимости математики к логике (см. Логицизм); но даже те, кто согласен был считать аксиомы сводимости аналитическими утверждениями, как правило, оспаривали законность их введения ввиду крайней их неконструктивности (неэффектив­ности нахождения постулируемых в них совокупно­стей). Правда, независимо от критики, идеи, заложен­ные в разветвленной Т. т., оказались весьма плодо-


творными в применении к др. проблемам математики и логики; в частности, они оказали определ. влияние на работы А. Тарского, посвященные понятию ис­тинности в формализованных языках, на тео­рию семантических категорий С. Лесь-невского и др.

Существ, вкладом в развитие теоретико-типовой концепции явились системы логики и теории мно­жеств, разработанные Куайном (1937, 1940, 1951), представляющие собой, в известном смысле, «гибрид» Т. т. с аксиоматич. теорией множеств Э. Цермело. В их основе лежит понятие стратификации логич. (теоретико-множественных) формул: формула наз. стратифицированной, если входящим в нее тер­мам можно присвоить индексы, удовлетворяющие обычным теоретико-типовым ограничениям (такова, напр., формула х£у & y£z, допускающая расстанов­ку индексов xlt y2, z3; формула же х£у & у£х, к-рую нельзя таким путем преобразовать в формулу Т. т., не стратифицирована). В аксиомах свертывания в си­стемах Куайна и им подобных допускаются лить стратифицированные формулы; это позволяет, не свя­зываясь с громоздкой индексной техникой Т. т., до­биться (в основном) тех же целей, к-рые преследо­вались введением индексов (типов).

Дальнейшим воплощением идей и методов, исполь­зованных создателями Т. т., явились (трапсфинит-ные) иерархии систем, предложенные П. Лоренценом, Хао Ваном, К. Шютте, а также системы Т. т. с транс­финитными типами (и трансфинитными типовыми пере­менными) М. Лаббе, П. Андруса и др. Внимание к та­кого рода системам пе ослабевает и в настоящее время, причем исходным пунктом всех этих рассмот­рений, в т. ч. и посвященным др. формам логистич. систем (напр., исчислениям многозначной логики, секвенций исчислению и др.), все время остается клас­сическая Т. т. Рассела.

Лит.: Гильберт Д., Аккерман В., Основы
теоретической логики, пер. с нем., К., 1947, гл. 4 и прилож. 1;
Ван Хао и Мак-Нотон Р., Аксиоматические
системы теории множеств, пер. с франц., М., 1963, гл. 1—2,
5—6; Френкель А., Бар-Хил дел И., Основания
теории множеств, лер. с англ., М., 1966, гл. 1,3 (имеется об­
ширная библ.); Whitehead A. N., Russell В.,
Principia Mathematica, 2 ed., v. 1—3, Camb.. 1925—27; О u i-
ne W. V. O., New foundations tor mathematical logic,
«Amer. Math. Monthly», 1937, v. 44, p. 70—80; его же,
Mathematical logis, N. Y., 1962; R a m s e у F. P., The founda­
tions of mathematics and other logical essays, Paterson (N. Y.),
1960; Andrews P., A transfinite type theory with type va­
riables, Amst., 1965. ю. Гастев. Москва.

ТЙТО (Broz-Tito), Иосии В р о з (р. 25 мая 1892) — деятель югославского и междунар. коммунистич. дви­жения. Президент СФРЮ. Председатель Союза ком­мунистов Югославии (СКЮ). Род. в семье крестьянина в с. Кумровац (Хорватия). После окончания нач. шко­лы и ремесл. училища стал рабочим-металлистом. В 1910 вступил в с.-д. партию. Участвовал в первой мировой войне в рядах австро-венг. армии. В 1915 был ранен, попал в плен и находился в России. В 1917 участвовал в июльской демонстрации в Петрограде. Вернувшись на родину, в 1920 вступил в Коммунистическую партию Югославии (с 1952—СКЮ). С 1928 — секретарь гор. коми­тета КПЮ в Загребе. В том же году был аре­стован за подпольную коммунистическую деятель­ность и приговорен к пяти годам каторги. Вый­дя в 1934 из тюрьмы, Т. возобновляет нелег. пар­тийную деятельность. С 1934 Т. — член Политбюро



Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: