расслоение алфавита переменных на «типы», в результате к-рого множества (классы) и их элементы (вообще — термины) следует рассматривать только в рамках определ. иерархии с условием, что тип элемента множества должен быть (на единицу) меньше типа самого множества, причем вместо переменной любого типа разрешается подставлять термы лишь того же типа. В такой системе известные парадоксы не возникают, хотя ею и не исключается возможность непредикативных определений со всеми вытекающими отсюда последствиями. [Парадокс Рассела в Т. т. не может быть сформулирован из-за ограничения на правило подстановки терминов и требования, согласно к-рому в любой (правильно построенной) (под) формуле Т. т. вида xi £ уj было бы £</.]
Известны и др. формулировки Т. т. (напр., «кумулятивные» и «расслаивающиеся» системы), но эти различия формулировок носят не принципиальный, а скорее технич. характер. Более существ, различия связаны со структурой и мощностью самой иерархии типов: наряду с системами, типы переменных к-рых пробегают лишь натуральный ряд чисел, рассматриваются и более сильные системы с трансфинитными иерархиями типов (о трансфинитных числах см. Теория множеств). Представляют значит, интерес и частичные (под)системы Т. т. с конечными иерархиями типов; так, для формализации существ, фрагментов матем. анализа оказывается достаточной Т. т. второй ступени (исчисление предикатов второго порядка); правда, если требовать, чтобы содержательные теоремы анализа формулировались непременно на предметном языке теории (а не только на ее метаязыке), то может понадобиться повышение типа системы на 1—2 порядка.
|
|
Наряду с описанными выше системами т. н. п р о-с т о й Т. т. Рассел и Уайтхед в «Principia mathema-tica» (v. 1—3, Camb.—L.— Edin., 1910 — 13) ввели также разветвленную Т. т., в к-рой объекты внутри каждого типа делятся еще на уровни (слои): нек-рая исходная область индивидов составляет нулевой уровень, а объекты, определяемые в терминах объектов не выше (г—1)-го уровня, составляют t-й уровень. Разветвленная Т. т. позволяет рассматривать объекты со сколь угодно сложной схемой (предикативного) определения, но исключает непредикативные определения (и тем самым возможность парадоксов семантических). Однако она не дает возможности рассматривать все объекты любого данного типа (напр., действительные числа) в качестве единого множества, так что многие из важнейших теорем матем. анализа либо не доказуемы (а иногда даже не формулируемы) в рамках такой теории, либо чрезмерно усложняются. С целью преодоления этого недостатка разветвленной Т. т. Рассел и Уайтхед постулировали в ней т.н. аксиом ы сводимости, согласно к-рым для каждой совокупности объектов произвольного уровня имеется равнообъемная ей совокупность наинизшего (из совместимых с уровнем исходных объектов) уровня. Введение аксиом сводимости, при всей привлекательности п простоте получающихся вариантов теории, вызвало критику концепции Рассела и Уайтхеда; большая часть оппонентов усматривала в них онтологические — и притом очень мало правдоподобные и трудно обосновываемые — допущения, противоречащие ло-гицистич. тезису о сводимости математики к логике (см. Логицизм); но даже те, кто согласен был считать аксиомы сводимости аналитическими утверждениями, как правило, оспаривали законность их введения ввиду крайней их неконструктивности (неэффективности нахождения постулируемых в них совокупностей). Правда, независимо от критики, идеи, заложенные в разветвленной Т. т., оказались весьма плодо-
|
|
творными в применении к др. проблемам математики и логики; в частности, они оказали определ. влияние на работы А. Тарского, посвященные понятию истинности в формализованных языках, на теорию семантических категорий С. Лесь-невского и др.
Существ, вкладом в развитие теоретико-типовой концепции явились системы логики и теории множеств, разработанные Куайном (1937, 1940, 1951), представляющие собой, в известном смысле, «гибрид» Т. т. с аксиоматич. теорией множеств Э. Цермело. В их основе лежит понятие стратификации логич. (теоретико-множественных) формул: формула наз. стратифицированной, если входящим в нее термам можно присвоить индексы, удовлетворяющие обычным теоретико-типовым ограничениям (такова, напр., формула х£у & y£z, допускающая расстановку индексов xlt y2, z3; формула же х£у & у£х, к-рую нельзя таким путем преобразовать в формулу Т. т., не стратифицирована). В аксиомах свертывания в системах Куайна и им подобных допускаются лить стратифицированные формулы; это позволяет, не связываясь с громоздкой индексной техникой Т. т., добиться (в основном) тех же целей, к-рые преследовались введением индексов (типов).
Дальнейшим воплощением идей и методов, использованных создателями Т. т., явились (трапсфинит-ные) иерархии систем, предложенные П. Лоренценом, Хао Ваном, К. Шютте, а также системы Т. т. с трансфинитными типами (и трансфинитными типовыми переменными) М. Лаббе, П. Андруса и др. Внимание к такого рода системам пе ослабевает и в настоящее время, причем исходным пунктом всех этих рассмотрений, в т. ч. и посвященным др. формам логистич. систем (напр., исчислениям многозначной логики, секвенций исчислению и др.), все время остается классическая Т. т. Рассела.
Лит.: Гильберт Д., Аккерман В., Основы
теоретической логики, пер. с нем., К., 1947, гл. 4 и прилож. 1;
Ван Хао и Мак-Нотон Р., Аксиоматические
системы теории множеств, пер. с франц., М., 1963, гл. 1—2,
5—6; Френкель А., Бар-Хил дел И., Основания
теории множеств, лер. с англ., М., 1966, гл. 1,3 (имеется об
ширная библ.); Whitehead A. N., Russell В.,
Principia Mathematica, 2 ed., v. 1—3, Camb.. 1925—27; О u i-
ne W. V. O., New foundations tor mathematical logic,
«Amer. Math. Monthly», 1937, v. 44, p. 70—80; его же,
Mathematical logis, N. Y., 1962; R a m s e у F. P., The founda
tions of mathematics and other logical essays, Paterson (N. Y.),
1960; Andrews P., A transfinite type theory with type va
riables, Amst., 1965. ю. Гастев. Москва.
ТЙТО (Broz-Tito), Иосии В р о з (р. 25 мая 1892) — деятель югославского и междунар. коммунистич. движения. Президент СФРЮ. Председатель Союза коммунистов Югославии (СКЮ). Род. в семье крестьянина в с. Кумровац (Хорватия). После окончания нач. школы и ремесл. училища стал рабочим-металлистом. В 1910 вступил в с.-д. партию. Участвовал в первой мировой войне в рядах австро-венг. армии. В 1915 был ранен, попал в плен и находился в России. В 1917 участвовал в июльской демонстрации в Петрограде. Вернувшись на родину, в 1920 вступил в Коммунистическую партию Югославии (с 1952—СКЮ). С 1928 — секретарь гор. комитета КПЮ в Загребе. В том же году был арестован за подпольную коммунистическую деятельность и приговорен к пяти годам каторги. Выйдя в 1934 из тюрьмы, Т. возобновляет нелег. партийную деятельность. С 1934 Т. — член Политбюро
|
|