Основные уравнения кинематики (повторение)

Вращательное движение	Поступательное движение
Равномерное движение
= const φ = φ₀ + ω_z t	= const x =x₀ + t
Равноускоренное движение
φ = φ₀ + t +	x =x₀ + t +
Эту аналогию мы намерены продолжить и в динамике!
Если , то и = const	Если , то и = const

Свободно вращающееся тело будет сохранять вращение с постоянной угловой скоростью или находиться в покое, если векторная сумма моментов внешних сил, приложенных к телу, равна нулю. Это утверждение называют первым законом Ньютона для вращательного движения.

Второй закон Ньютона для вращательного движения. Демонстрация с дверью и с вращающимся диском: ~ .

= ·?

Что является аналогом массы при вращательном движении твердого тела? Рассмотрим вначале очень простой случай: частица массой m вращается по окружности радиуса R на конце стержня, массой которого можно пренебречь. Момент силы, который приводит к угловому ускорению частицы М = FR. Поскольку F = ma_r, а a_r= , то → FR = → – основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент инерции (I) – свойство вращающегося тела противодействовать изменению его угловой скорости, измеряемое для материальной точки произведением массы на квадрат радиуса вращения.

Единица момента инерции в СИ: [I] = [кг ∙ м²].

Направление углового ускорения совпадает с направлением вектора момента силы.

Пример: гироскоп. правило гироскопа: Гироскоп стремится совместить ось своего вращения с направлением момента приложенных к нему сил. Применения гироскопа: навигационные приборы, можно обнаружить вращение Земли, гироскопическая стабилизация.

Вычисление момента инерции. Например, если тело имеет форму диска, то

I = m₁R ² ₁ + … + m_N = .

Тело	Рисунок	Момент инерции
Тонкое кольцо	R	mR²
Цилиндр	R	mR²
Шар	R	mR²
Тонкий стержень	L
Тонкий стержень	L

Теорема Штейнера (теорема о параллельном переносе оси вращения ). Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой оси плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

I = I_цм + mh²

Пример с параллельным переносом оси вращения стержня:

Задачи:

1. К веревке, намотанной вокруг колеса (цилиндр) массой 4 кг и радиусом 30 см, приложена сила 15 Н. Если момент сил трения в ступице колеса равен 1,1 Н · м, то с каким угловым ускорением вращается колесо?

2. Однородный цилиндр массы М и радиуса R вращается без трения вокруг горизонтальной оси под действием груза массы т, прикрепленного к легкой нити, намотанной на цилиндр. Найти ускорение груза и силу натяжения нити, а также силу давления шкива на ось.

3. За последние 40 лет сутки возросли примерно на 0,001 с (за 100 лет продолжительность суток увеличивается на 0,0023 с). Если этот эффект связан с приливным трением, вызываемым Луной, то какова средняя сила трения? Считать, что орбита Луны лежит в плоскости экватора Земли.

4. Цилиндрическая муфта имеет массу 0,2 кг, внутренний радиус 0,03 м и внешний 0,05 м. Определите момент инерции муфты относительно оси, совпадающей с осью симметрии.

5. Шар массой 2,4 кг, закрепленный на конце легкого стержня, вращается по горизонтальной окружности радиусом 1,2 м. Вычислите: а) момент инерции шара; б) момент силы, необходимой для того, чтобы шар вращался с постоянной угловой скоростью, если со стороны воздуха на шар действует сила сопротивления 0,02 Н?

6. Найти ускорение центра однородного шара, скатывающегося без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Чему равна сила трения сцепления шара и плоскости?

Вопросы для повторения:

1. Почему катящийся шар замедляется?

2. Какая сила разгоняет колесо, катящееся с горы?

3. Какая сила раскручивает колесо, катящееся с горы? (Колесо может раскрутить такая сила, момент которой относительно центра не равен нулю).

4. Почему при ударе кием по нижней части бильярдного шара он движется замедленно, а при ударе по верхней части – первое время ускоренно?

5. Почему при наклоне велосипеда раскрученное переднее колесо поворачивается в сторону наклона? А если колесо раскрутить в противоположном направлении?

6. Имеется два шара одинаковой массы и объема. Как установить, какой из них с полостью?

7. Почему не падает вращающийся волчок?

8. Почему устойчив полет вращающейся пули?

Творческие домашние задания:

1. Оцените время, через которое удвоится начальный угол отклонения от вертикали швабры, поставленной на ручку и отпущенной после этого.

2. Получите выражение для силы трения покоя при скатывании обруча с наклонной плоскости. При каком угле α начнется скольжение колеса, если коэффициент трения μ?

3. Почему при езде на велосипеде «без руля» переднее колесо поворачивается в сторону наклона, обеспечивая тем самым устойчивость движения?

4. Два мотка туалетной бумаги, диаметр одного из которых в 2 раза больше другого, насажены на круглую палку. К их концам прикреплены одинаковые грузы. Какой из мотков раскрутится быстрее? Почему? Имеется два шара одинаковой массы и объема. Как установить, какой из них с полостью?

Природы строй, ее закон

В извечной тьме таился.

И Бог сказал: «Явись, Ньютон!»,

И всюду свет разлился.

А.Попа,

эпитафия на могиле Ньютона