2015-05-06
1514
Пусть 
– спектральная плотность сигнала f (t). Определим спектральную плотность производной этого сигнала, т. е. спектральную плотность сигнала 
:
.
Вычислим этот интеграл по частям, обозначая 
, 
:
.
Если сигнал 
как при 
так и при 
стремиться к нулю, то, пренебрегая первым слагаемым, окончательно получим
(2.18)
т.е. дифференцирование сигнала соответствует умножению спектральной плотности на jw.
При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает, сигнал как бы "обостряется". Соответственно модуль спектральной плотности производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению со спектральной плотностью исходного сигнала.
Формулу (2.18) можно обобщить на случай производной n -го порядка. Легко показать, что для производной n -го порядка
(2.19)
