Свойства производной по направлению

1. Производная по направлению имеет наибольшее значениепо направлению градиента, что следует из коллинеарности , то есть cos 0 = 1 и .

2. Производная по направлению равна нулю по направлению, перпендикулярному градиенту, что следует из ортогональности grad u, то есть cos (π/2) = 0 и .

Замечания. 1) Другие обозначения градиента функции:

grad u = gr u = , где вектор называется оператор Гамильтона или оператор набла.

Тогда = = – разные формы записи градиента.

1) Если функция u = u(x,y) R⁽²⁾, то градиент функции – это вектор = =,

а производная по направлению – число, равное.

Пример 3. Найти производную функции u = x² + y² + z² по

направлению вектора = {2;1;-2} в точке М(1;1;1).

Производную функции u = x² + y² + z² по направлению вектора

={2;1;-2}

найдем по определению .

Вычислим градиент grad u = = {2x; 2y; 2z} в произвольной точке, а затем в точке М(1;1;1): grad u (М) = {2; 2; 2}.

Нормируем вектор = {2;1;-2}.

Для этого найдем его длину и координаты единичного вектора , где cosα = 2/3; cosβ= 1/3; cosγ = – 2/3/

.