Несобственные интегралы первого рода

(с бесконечными пределами)

Обобщим понятие определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования.

Определение. Несобственным интегралом первого рода от функции , непрерывной на промежутке , называется предел определенного интеграла с переменным верхним пределом R при :

.

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если предел не существует, то расходящимся.

Из определения и рис. 3.1 следует геометрический смысл несобственного интеграла первого рода: несобственный интеграл первого рода от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции с бесконечно длинным основанием.

Рис. 3.1. Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода

Аналогично вводится несобственный интеграл первого рода по промежутку :

.

Можно определить и несобственный интеграл первого рода с двумя бесконечными пределами, т.е. по промежутку :

,

где с – любое число.

Пример 1

т.е. данный интеграл сходится.

Пример 2

т.е. данный интеграл расходится, так как предел функции при не существует.