Признаки сходимости несобственных интегралов

Рассмотрим достаточные признаки сходимости несобственных интегралов (признаки сравнения), позволяющие выяснить вопрос о сходимости несобственного интеграла без знания первообразной его подынтегральной функции.

Признак сравнения 1 (без доказательства). Пусть на промежутке функции и непрерывны и удовлетворяют неравенствам . Тогда:

1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;

2) если интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Признак сравнения 2 (без доказательства). Пусть на промежутке функции и непрерывны и удовлетворяют неравенствам . Тогда, если существует конечный и отличный от нуля предел

,

то несобственные интегралы и оба сходятся или оба расходятся.

Замечание 1. Аналогичные признаки сравнения справедливы и для других видов несобственного интеграла первого рода, а также для несобственных интегралов второго рода.

Замечание 2. При применении признаков сравнения требуется знать несобственные интегралы, относительно которых заранее известно, сходятся они или расходятся.

В качестве таких «эталонных» интегралов на практике часто используются следующие несобственные интегралы:

1) несобственный интеграл первого рода

,

который сходится при и расходится при ;

2) несобственный интеграл второго рода

,

который сходится при и расходится при .

Пример. Исследуем на сходимость несобственный интеграл первого рода

.

Так как на промежутке

,

а интеграл сходится , то по признаку сравнения 1 исходный интеграл также сходится.