Дифференцирующие и интегрирующие цепи

Линейные цепи часто используются для преобразования формы импульсных колебаний. Рассмотрим RC-цепь, в которой выходным сигналом является напряжение на резисторе (рис. 6.3, а). Ее дифференциальное уравнение составляется следующим образом:

Продифференцировав обе части по t и домножив на RC, получим окончательно:

(6.28)

Если постоянная времени t настолько мала, что

tïdu_R/dtê<< ïu_Rï или τ=RC << 1 (6.29)

в любой момент времени, то первым слагаемым в левой части (6.28) можно пренебречь по сравнению со вторым, и поэтому

(6.30)

т.е. при выполнении вышеуказанного условия RC-цепь выполняет операцию приближенного дифференцирования сигнала. Схемотехническое применение дифференцирующих цепей – создание обострителей импульсных сигналов.

Выполнение неравенства (6.29) зависит не только от параметров цепи, но и от характеристик входного сигнала, для оценок которых проще и нагляднее воспользоваться методом анализа в частотной области. Коэффициент передачи рассматриваемой цепи K(jw) = jwRC / (1 + jwRC) будет действительно близок к частотному коэффициенту передачи идеального дифференциатора K(jw)» jwt, если произведение wt пренебрежимо мало по сравнению с единицей в той области частот, где сосредоточена основная доля энергии сигнала. Так, если входной сигнал – прямоугольный видеоимпульс с длительностью t_и, то, используя грубую оценку для верхней граничной частоты в спектре импульса w_b = 2p/t_и, получаем условие, обеспечивающее пригодность RC-цепи для приближенного дифференцирования такого сигнала: t = RС << t_и /(2p).

u_вх R u_R u_вх C u_C

а) б)

Рис. 6.3 – RC-цепи: а) – дифференцирующая; б) – интегрирующая

Диаметрально противоположными свойствами обладает RC-цепь, у которой выходной сигнал снимается с конденсатора (рис. 6.3, б). Ее дифференциальное уравнение записывается следующим образом:

и, окончательно, если параметры цепи и входного сигнала таковы, что tïdu_C/dtï>>ïu_Cï или τ=RC >> 1, то

(6.31)

RC-цепь с такими свойствами называется интегрирующей цепью. Приближенное интегрирование выполняется тем точнее, чем значительнее относительная доля высокочастотных компонент в спектре входного сигнала. Действительно, поскольку частотный коэффициент передачи такой цепи K(jw) = 1/ (1 + jwt), то приближенное равенство K(jw)» 1/ (jwt), обеспечивающее интегрирующие свойства цепи, будет иметь место, если w_нt >> 1, где w_н – нижняя граничная частота спектра.

Интегрирующие цепи, обладающие свойством подавлять высокочастотные компоненты спектра входного сигнала, часто используют как сглаживающие фильтры. Кроме того, они могут преобразовывать скачкообразные перепады входного сигнала в линейно нарастающие импульсы напряжения на входе.

Вычисление импульсных характеристик. Для нахождения импульсной характеристики h(t) системы целесообразно воспользоваться спектральным методом, согласно которому

В качестве примера найдем импульсную характеристику интегрирующей RC-цепи, для которой выходным сигналом служит напряжение на конденсаторе. Здесь K(jw) = 1/(1+jwRC), и поэтому импульсная характеристика

(6.32)

Для вычисления интегралов такого вида удобнее всего использовать метод вычетов, суть которого сводится к следующему:

1. Необходимо найти полюса подынтегральной функции w_i, т.е. те точки, в которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае подынтегральная функция имеет единственный полюс w₁ = j/RC.

2. Необходимо найти вычеты подынтегральной функции в точках найденных полюсов:

6. Используя теорему Коши, согласно которой контурный интеграл от аналитической функции равен числу 2pj, умноженному на сумму вычетов подынтегральной функции во всех полюсах, лежащих внутри контура интегрирования, можно найти значение импульсной характеристики при t>0:

(6.33)

Вычисление сигнала на выходе системы. В качестве примера использования спектрального метода решим задачу о прохождении экспоненциального видеоимпульса и_вх (t) = U₀ exp(-at) через интегрирующую RC-цепь, рассмотренную выше. В данном случае спектр входного воздействия S_вх(w) = U₀/ (a + jw) и задача сводится к вычислению интеграла:

Разложив подынтегральное выражение на элементарные дроби, имеем

Одинаковая структура слагаемых в квадратных скобках позволяет непосредственно использовать результаты, полученные при вычислении импульсной характеристики, и по аналогии записать решение: