2015-04-23
3180
Тема 3.4 Числовые ряды.
Пусть дана бесконечная последовательность чисел 
Определение. Выражение 
называется бесконечным числовым рядом, или просто рядом.
- первый член ряда;
- второй член ряда;
- n -ый или общий член ряда.
Коротко ряд можно записать в виде 
.
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда;
n – переменная-«счётчик».
Запись 
обозначает, что проводится суммирование от 1 до «плюс бесконечности», то есть, сначала 
, затем 
, потом 
, и так далее – до бесконечности. Вместо переменной n иногда используется переменная k или m. Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля 
, с двойки 
либо с любого натурального числа.
Ряд считается заданным, если известно правило, по которому для любого номера n можно записать соответствующий член ряда, т.е. задан общий член ряда , как функция номера n: 
Пример
Записать первые три члена ряда 
.
Решение.
Выбирая первые три номера, найдем члены ряда с этими номерами:
Сначала , тогда 
;
Затем , тогда 
;
Потом , тогда 
.
|
|
|
Процесс можно продолжить до бесконечности, но по условию требовалось написать первые три члена ряда, поэтому ответ: 
Пример
Записать первые три члена ряда 
.
Решение.
Подставляем в общий член ряда сначала , потом и . В итоге:
Ответ лучше оставить в таком виде и полученные члены ряда не упрощать, то есть не выполнять действия: 
.
Иногда встречается обратное задание.
Пример
Записать данный ряд в свёрнутом виде с общим членом ряда: 
Решение.
Для записи ряда в свернутом виде необходимо найти формулу общего члена ряда. При этом нет какого-то четкого алгоритма решения, закономерность нужно просто увидеть.
В данном случае:
Для проверки полученный ряд 
можно «расписать обратно» в развернутом виде.
Пример
Записать данный ряд в свёрнутом виде с общим членом ряда 
Решение.
Иногда ряд задается с помощью рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задается несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда. Например, пусть 
Получим:
и т.д.
Искомый ряд 
Рассмотрим суммы первых n членов ряда. Такие суммы называют n -ми частичными суммами ряда:
Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм 
.
Одной из ключевых задач теории числовых рядов является исследование ряда на сходимость.
Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел S последовательности его частичных сумм Sn при неограниченном возрастании номера n, т.е. 
.
Предел S последовательности частичных сумм сходящегося ряда называется суммой ряда. Таким образом, если числовой ряд сходится, то его можно просуммировать, т.е. он имеет конечную сумму.
|
|
|
Если последовательность Sn частичных сумм рядане имеет предела или этот предел равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.
В качестве примера можно привести бесконечную геометрическую прогрессию:
, где q – знаменатель геометрической прогрессии.
Для геометрической прогрессии 
В зависимости от знаменателя, предел суммы членов геометрической прогрессии различен:
Т.е. Sn не стремится ни к какому пределу.
Окончательно, бесконечная геометрическая прогрессия представляет ряд, который сходится при 
и расходится при 
.
Ряд вида 
называется геометрическим рядом.
Ряд вида 
называется гармоническим. Запишем частичную сумму этого ряда, сгруппировав слагаемые следующим образом:
Сумма Sn больше суммы, представленной следующим образом:
Если 
, то 
, гармонический ряд расходится.
Рассмотрим ряд 
, который называется обобщенным гармоническим рядом.
1) пусть 
Составим n -ю частичную сумму
По условию 
,
, следовательно, ряд расходится
2) при 
ряд будет сходящимся.
т.о. обобщенный гармонический ряд 
расходится при и сходится при 
