Общее уравнение баланса энергии

Уравнение баланса энергии в интегральной форме может быть получено из первого закона термодинамики

где первое слагаемое в скобках - кинетическая энергия движения жидкости, второе - потенциальная энергия положения, третье -энтальпия жидкости, Дж/кг; Еп - полная энергия в контрольном объеме, Дж; q - тепловой поток через контрольную поверхность, Вт; l_S - мощность на преодоление внешних сил, в основном сил трения, Вт; u - скорость потока, м/с; ρ - плотность среды, кг/м³;

х - угол между нормалью и контрольной поверхностью; g - ускорение силы тяжести, м/с²; z - геометрический напор, м; h - удельная энтальпия, Дж/кг;

S - контрольная поверхность; τ - время, с.

Для химических процессов кинетическая и потенциальная энергии, а также мощность на преодоление внешних сил пренебрежимо малы по сравнению с энтальпией, поэтому можно записать

Это уравнение, по сути, является уравнением теплового баланса.

Для простого контрольного объема, ограниченного контрольными поверхностями, перпендикулярными вектору потока жидкости, интегрирование последнего уравнения дает

Первые два слагаемых в этом уравнении получены следующим образом. Если принять плотность постоянной, а соs(х) = ±1, то

, тогда

Так как то получаем

Если скорость незначительно меняется в обоих сечениях, а поток жидкости стационарен в гидродинамическом отношении, то уравнение баланса тепла можно записать следующим образом:

Если система стационарна и в тепловом отношении, то:

Если в системе не происходит фазовых превращений и химических реакций, то можно от энтальпий перейти к теплоемкостям и тогда

Рассмотрим пример применения уравнений теплового баланса в нестационарных условиях.

Пример 9.1. Два резервуара объемом по 3м³ каждый заполнены водой при температуре 25 °С. Оба имеют мешалки, обеспечивающие практически полное перемешивание. В определенный момент времени в первый резервуар начинают подавать 9000 кг/ч воды при температуре 90°С. Вода, выходящая из первого резервуара, поступает во второй. Определить температуру воды во втором резервуаре через 0,5ч после начала подачи горячей воды. Резервуары считать теп-

лоизолированными.

Решение: Составим схему тепловых потоков (рис. 9.1) и тепловой баланс для первого резервуара.

Рис.9.1 Схема тепловых потоков к примеру 9.1

При отсутствии теплообмена q = 0 и при условиях W = W₁ = W₂; Ср = Ср₁ = Ср₂; dЕп = VρС_PdТ₁, уравнение теплового баланса примет вид

WC_P(T₀ – T₁)dτ = VρC_PdT₁

После интегрирования от 0 до τ и от 25°С до Т₁, получим

Т₁ = 90 - 65ехр(-3τ)

Составим аналогичным образом тепловой баланс второй емкости

WC_P(T₁ – T₂)dτ=VρC_PdT₂

откуда 9000(T₁ - Т₂) dτ = 3∙1000 dT₂ или

Получено линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его можно проинтегрировать известным способом аналитически. Тогда имеем

Т₂ = ехр(-3τ)(90 ехр(3τ) - 195τ+ С)

Начальные условия: при τ=0 Т₂ = 25 °С. Произвольная постоянная С = - 65.

Окончательно решение примет вид

Т₂ = 90 - 65 (3τ +1) ехр(-3τ);

T₂ = 90 - 65(3∙0,5 + 1)ехр(-3∙0,5) = 53,74⁰С.