Интерполяция кубическими сплайнами

Пусть отрезок разбит на частей точками :

.

Сплайном k-й степени называется функция, представляющая собой многочлен не выше k -й степени на каждом из последовательно примыкающих друг к другу интервалов . Функция непрерывна вместе со своими производными до порядка не выше k.

Например, непрерывная кусочно-линейная функция (ломаная) является сплайном первой степени с производной, терпящей разрыв в точках излома.

Пусть на отрезке определена функция , значения которой в точках равны .

Задача интерполяции функции на отрезке кубическим сплайном (сплайном третьей степени) состоит в нахождении функции , равной многочлену третьей степени на каждом отрезке , т. е.

, , (4.3)

причем значения сплайна в узлах интерполяции равны соответствующим значениям заданной функции и сплайн-функция непрерывна в узлах интерполяции вместе с производными первого и второго порядков:

, (4.4)

, (4.5)

, (4.6)

. (4.7)

Условия (4.4) - (4.7) дают линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов (p=0, 1, 2, 3; i=1, 2,..., n) при соответствующих степенях в многочленах .

Интерполяционный кубический сплайн для функции существует и является единственным, если вместе с этими уравнениями выполняется какая-либо пара дополнительных (краевых) условий:

1. ;

2. ;

3. .

Рассмотрим случай разбиения отрезка на n равных частей с шагом h, для которого и с использованием краевых условий 1-го типа.

Введем величины (наклоны сплайна в точках (i=0, 1,..., n)).

Интерполяционный кубический сплайн вида

(4.8)

удовлетворяет условиям (4.4) ‑ (4.6) для любых . Из условия (4.7) и краевых условий 1-го типа можно определить n+1 параметр :

.

Учитывая, что

а также краевые условия 1-го типа и условия (4.7), то получим систему из n+1 линейных уравнений относительно неизвестных :

(4.9)

Решение этой системы позволяет найти значения неизвестных и определить интерполяционный сплайн в виде соотношений (4.8). Система (4.9) может быть решена методом Гаусса или одной из его модификаций.