Скалярное произведение. Свойства высисления

Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из умножаемых векторов нулевой, то .

Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по (скалярный квадрат).

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов и .

То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид
,
а для векторов в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится как
.

Таким образом, мы имеем третье определение скалярного произведения. Покажем, что это определение эквивалентно первому.