Скалярное поле

CКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

Скалярным полем называется часть пространства, каждой точке которого поставлена в соответствие определённое число – скаляр.

Примеры скалярных полей: 1) поле температур внутри неоднородно нагретого тела; 2) поле давлений воздуха в атмосфере; 3) поле плотности вещества в теле; 4)поле плотности распределения электрического заряда и т.д.

Скалярное поле считается заданным, если в каждой точке M некоторой области W определена скалярная функция U (M). В связи с этим, понятие скалярного поля и функции, определенной в области W, эквивалентны. Если скалярное поле отнесено к декартовой системе координат, то скалярную функцию U (M) можно записать, например, в виде функции двух U (x,y) или трёх U (x,y,z) переменных.

Простейшей геометрической характеристикой скалярного поля U (M) являются поверхности уровня.

Поверхности уровня – это геометрическое место точек, в которых скалярная функция принимает постоянные значения, т.е. U (x,y,z)= C, где С – произвольная постоянная.

В случае двумерного поля понятие поверхности уровня заменяется понятием линии уровня: U (x,y)= C.

Примеры линий уровня: 1) на топографических картах линии, соединяющие точки, имеющих одну и туже высоту над уровнем моря; 2) в термодинамике на диаграммах состояния линии, соединяющие точки, имеющих одну и туже температуру (изотермы), давление (изобары) или объём (изохоры); 3) в электростатике линии, соединяющие точки, имеющие одинаковый потенциал (эквипотенциальные линии).

Пример 1.1. Изобразить линии уровня скалярного поля U (x,y)= y ²+ x.

Решение. Записываем y ²+ x = С Þ y ²= C – x. Это есть семейство парабол (см. рис.1.1).