Различным способам задания прямой в пространстве соответствуют разные виды ее уравнений, основные из которых представлены в таблице 5.
Таблица 5
№ п/п | Вид уравнения | Смысл входящих в уравнение коэффициентов | Примечание |
Канонические уравнения прямой | (x 0, y 0, z 0) – координаты точки М0, лежащей на прямой; m,n,p – координаты вектора, параллельного прямой | Вектор называется направля-ющим вектором прямой | |
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки | (x 1, y 1, z 1), (x 2, y 2, z 2) – координаты двух заданных точек | Уравнение является обобще-нием уравнения прямой на плоскости | |
Уравнения прямой как линии пересечения двух плоскостей | - уравнение одной плоскости; - уравнение второй плоскости | Уравнение иначе назы-вается общими уравне-ниями прямой в простран-стве |
Пусть заданы две прямые своими каноническими уравнениями:
l 1:
l 2: .
Угол между прямыми определяется как .
Условие перпендикулярности прямых:
=0.
Условие параллельности прямых:
.
Пусть плоскость a задана уравнением А х +В у +С z +D=0, а прямая l – своими каноническими уравнениями , тогда угол между прямой и плоскостью определяется как
.
Условие параллельности прямой и плоскости А m +B n +C p =0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
_____________
3.5.1. Написать канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы и проходящей через точку М0(-1;0;5).
Ответ: .
3.5.2. Написать канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость 4 х - у +2 z -3=0.
Ответ: .
3.5.3. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;-3;-4) параллельно прямой: .
Ответ: .
3.5.4. Написать уравнения прямой, проходящей через точку М0(2;1;-1) перпендикулярно плоскости х-у+z+ 1=0.
Ответ: .
3.5.5. Найти угол между прямыми:
и .
Ответ: p/3.
3.5.6. Доказать, что прямые и параллельны.
3.5.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через пару параллельных прямых и .
Ответ: 3 х -2 у -3=0.
3.5.8. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М0(1;-2;3) и прямую: .
Ответ: 7 х +5 у -9 z +30=0.
3.5.9. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 3 х +3 у - z +1=0.
Ответ: 6 х -5 у +3 z -11=0.
3.5.10. Найти точку пересечения с плоскостью 2 х +3 у -2 z +2=0.
Ответ: (3;2;7).
3.5.11. Найти угол между прямой и плоскостью 6 х -3 у +2 z =0.
Ответ: .
________________
3.5.12. Написать уравнения прямой, проходящей через точки А(-1;2;3) и В(2;6;-2). Найти ее направляющие косинусы.
Ответ:
.
3.5.13. Написать уравнения прямой, проходящей через точку (-4;3;0) параллельно прямой .
Ответ: .
3.5.14. Найти угол между прямыми и .
Ответ: .
3.5.15. Найти расстояние между прямыми и .
Ответ: .
3.5.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку (3;4;0).
Ответ: х -2 у + z +5=0.
3.5.17. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости 2 х +3 у - z =4.
Ответ: 8 х -5 у + z -11=0.
3.5.18. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямые и .
Ответ: х +2 у -2 z =1.