Исследование общего уравнения плоскости

Общее уравнение плоскости может быть полным или неполным, т.е. в нем могут отсутствовать одно или несколько слагаемых. Вид уравнения определяет ориентацию плоскости в пространстве. Для построения плоскости лучше использовать уравнение “в отрезках”. Исследование общего уравнения плоскости представлено в таблице.

Вид уравнения	Геометрическая иллюстрация	Вид уравнения	Геометрическая иллюстрация
Ax + By + Cz + D = 0	плоскость пересекает оси OX, OY, OZ	Ax + By + Cz = 0	плоскость проходит через начало координат
Ax + By + D = 0	плоскость e e оси OZ	Ax + By + D = 0	плоскость e e оси OУ
By + Cz + D = 0	плоскость e e оси OХ	Ax + D = 0	плоскость e e плоскости ZOY

By + D = 0	плоскость e e плоскости XOZ	Cz + D = 0	плоскость e e плоскости XOУ
Ax = 0	плоскость ZOY	By = 0 Cz = 0

Задача. Построить следующие плоскости: 1) 4 x + z - 8 = 0;
2) 6 x - 2 y + z = 0;
3) z - 5 = 0.

Решение. 1) , т.е. a = 4, c = 8. Плоскость 4 x + z - 8 = 0 параллельна оси ОУ. 2) Плоскость 6 x - 2 y + z = 0 проходит через начало координат, так как свободный член D = 0. Найдем уравнение прямой, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью ХОУ
. Найдем уравнение прямой, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью YOZ: . 3) . Данная плоскость параллельна плоскости XOY
В ы в о д ы: 1. Если в уравнении плоскости отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат. 2. Если в уравнении плоскости отсутствует одна координата, то плоскость параллельна оси отсутствующей координаты. 3. Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то плоскость параллельна координатной плоскости отсутствующей координаты. 4. Если в уравнении плоскости отсутствуют две координаты и свободный член, то это есть координатная плоскость отсутствующей координаты.