Частные производные

Пусть функция определена в окрестности точки .

Определение. Частной производной функции в точке по переменной называется предел отношения частного приращения в этой точке к вызвавшему его приращению переменной при .

Обозначения частной производной:

Итак, согласно определению,

Аналогично

Таким же образом определяются частные производные для функции большего числа переменных. Например, для функции :

При вычислении частной производной по переменной все остальные независимые переменные считают постоянными величинами (равными соответствующим координатам точки ), и применяют правила дифференцирования функции одной переменной [4].

Примеры. 1. .

(производная второго слагаемого равна нулю как производная константы);

2. .

3. . Частная производная по переменной является производной степенной функции с фиксированным показателем ; поэтому . Частная производная по переменной является производной показательной функции с фиксированным основанием ; поэтому .