2015-05-14
2835
Используя формулы (5) найдем числа:
Отсюда 
Таким образом у1 = 1 + 0,1832 = 1,1832 при х = 0,2. По этой же схеме находим у2 и т.д. процесс вычисления ведем по схеме:
| x | y | ki | Δy |
| x0 = 0 | y0 =1 | k1 = 0,2 | 
= 0,1832
|
 = 0,1
|  =1,1
| k2 = 0,1838 | |
| =0,1
|  1,0918
| k3 = 0,1817 | |
| x0 + h = 0,2 | y0 + k3 = 1,1817 | k4 = 0,1686 | |
| x1 = 0,2 | y1 = y0 + Δy0 = 1,1832 | k1 = 0,1690 | 
= 1,1584
|
 = 0,3
|  = 1,2677
| k2 = 0,1589 | |
 = 0,3
|  = 1,2626
| k3 = 0,1575 | |
| x1 + h = 0,4 | y1 + k3 = 1,3407 | k4 = 0,1488 | |
| x2 | y2 = y1 + Δy1 | k1 | 
|
| .............. | ............. | .............. | ............... |
Контрольные задания.
1. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением 
, при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| у | 1 | 1,1 | 1,18 | 1,25 | 1,31 |
Ответ:
2. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением 
, при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| у | 1 | 1,1 | 1,22 | 1,36 | 1,52 |
Ответ:
3. Найти по методу Эйлера три значения функции у, определяемой уравнением 
, при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 |
| у | 1 | 1,2 | 1,45 | 1,78 |
Ответ:
4. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением 
, при начальном условии у(0) = 0, принимая h = 0,1.
| х | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| у | 0 | 0,001 | 0,005 | 0,014 |
Ответ:
5. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением 
, при начальном условии у(2) = 4, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| у | 1 | 1,1 | 1,18 | 1,25 | 1,31 |
Ответ:
6. Найти методом Эйлера численной решение уравнения 
на отрезке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,2
| х | 0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
| у | 1 | 1,1 | 1,18 | 1,24 | 1,27 | 1,27 |
Ответ:
7. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение 
на промежутке [1; 2], при начальном условии у(1) = 0, принимая h = 0,1. В первых пяти точках.
Ответ:
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
| у | -0,1158 | -0,1501 | -0,1925 | -0,2397 | -0,2944 |
8. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение 
на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с тремя верными знаками.
Ответ:
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
| у | -1 | -0,975 | -0,949 | -0,921 | -0,888 | -0,842 | -0,802 | -0,744 | -0,675 | -0,593 | -0,495 |
9. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение 
на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с двумя верными знаками.
Ответ:
| х | 0 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
| у | 1 | 1,05 | 1,12 | 1,20 | 1,29 | 1,39 | 1,50 | 1,62 | 1,75 | 1,89 | 2,03 |
Литература.
- С.М. Никольский, М.К. Потапов, Алгебра: Пособие для самообразования. 2-е изд. М.: Наука, 1990
- Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М.Гусак, Е.А. Бричкова. Мн.: ТетраСистемс,1999
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 1985.
- Ю.И. Клименко Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: Учебник для вузов / Ю.И. Клименко. – М.: Издательство «Экзамен». 2005г.
- Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 4-е изд., М.: Высшая школа. 1998.
- П.Е. Данко, А.Г. Попов, Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. III. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1971.
- Д.Т. Письменный, Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.] – 6-е изд. - М.: Айрис – пресс, 2006.
