2015-05-14
3750
Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения
(1)
удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.
При численном решении дифференциального уравнения (1) задача ставится следующим образом: в точках х0, х0, х1, х2,...., хп найти приближения 
для значений точного решения у(хк)
Разность 
называется шагом сетки. Во многих случаях величину 
принимают постоянной. Пусть = h, тогда
xk = x0 +kh где 
(2)
Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле
, где 
(3)
Приближенное значение ук в точке xk = x0 +kh вычисляется по формуле:
- формула Эйлера (4)
Пример 4.1: Методом Эйлера найти значения решения уравнения 
, для которого у(1) = 1, в пяти точках отрезка [ 1; 1,5 ], приняв h = 0,1
Решение. По формуле (2) находим точки х0 = 1, х1 = 1,1, х2 = 1,2, х3 = 1,3, х4 = 1,4, х5 = 1,5. Значения искомой функции у = у(х), удовлетворяющей условиям данной задачи Коши, вычисляем по формуле (4). Результаты вычислений занесем в таблицу.
| k | xk | yk | 2xk | f(xk , yk) = 2xk - yk | hf(xk , yk) = 0,1(2xk - yk) | yk+1 = yk + hf(xk , yk) |
| 1,0 | 1,0000 | 2,0 | 1,0000 | 0,1000 | 1,1000 | |
| 1,1 | 1,1000 | 2,2 | 1,1000 | 0,1100 | 1,2100 | |
| 1,2 | 1,2100 | 2,4 | 1,1900 | 0,1190 | 1,3290 | |
| 1,3 | 1,3290 | 2,6 | 1,2710 | 0,1271 | 1,4561 | |
| 1,4 | 1,4561 | 2,8 | 1,3439 | 0,1344 | 1,5905 | |
| 1,5 | 1,5905 | 3,0 | 1,4095 | 0,1410 | 1,7315 |
§2. Метод Рунге – Кутта. (Один из наиболее употребляемых методов повышенной точности).
|
|
|
Пусть функция у определяется дифференциальным уравнением 
с начальным условием у(х0) = у0. При численном интегрировании такого уравнения по методу Рунге – Кутта определяются четыре числа:
(5)
Если положить 
, то можно доказать, что
. (6)
Получаем следующую схему вычислений:
| x | y | ki | Δy |
| x0 | y0 | k1 | 
|
| 
| k2 | |
|
| 
| k3 | |
| x0 + h | y0 + k3 | k4 | |
| x1 | y1 = y0 + Δy0 | k1 | 
|
| 
| k2 | |
| 
| k3 | |
| x1 + h | y1 + k3 | k4 | |
| x2 | y2 = y1 + Δy1 | k1 | 
|
| 
| k2 | |
| 
| k3 | |
| x2 + h | y2 + k3 | k4 | |
| .............. | ............. | .............. | ............... |
Пример 4.2:
Составь таблицу значений функции у, определяемой уравнением 
, при начальном условии у(0) = 1, 0 ≤ х ≤ 1 при h = 0,2.
