Тема 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1. 2. 3. 4.

Показать, что данная функция является решением данного дифференциального уравнения. Проверить, являются ли решениями данных дифференциальных уравнений указанные функции: Решить дифференциальные уравнения (найти общий интеграл уравнения): 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19. х·dx + у·dу = 0 mv' = -k ·v2 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. Решить уравнение у' = - , удовлетворяющее условию у(4)= 1.

5. Какие из приведенных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными?

6. Найти частные решения дифференциальных уравнений (решить задачу Коши):

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

(1+у2)dх+(1+х2)dу=0, у(1)=2

7. Найти кривую, проходящую через точку А (2, 16), зная, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой:

а) в три раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей эту же точку с началом координат;

б) равен квадрату ординаты этой точки.

8. Составить дифференциальное уравнение:

а) процесса изменения температуры тела в среде с температурой t_о, если скорость изменения температуры пропорциональна разности температур тела и среды;

б) процесса изменения численности населения страны, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его численности.

9. Тело движется со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Какой путь пройдет тело за 5 секунд от начала движения, если известно, что за 1 секунду оно проходит путь 8 м, а за 3 секунды

- 40 м?

10. Известно, что тело охлаждается в течение 15 мин от 100° до 80°. Через сколько минут температура тела понизится до 40°, если температура окружающей среды составляет 10°? (Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, см. задачу 8.а.)