Билинейное преобразование представляет собой конформное отображение точек р-плоскости в точки наz - плоскости и использует замены вида: ;
где - период частоты дискретизации, на которой работает цифровой фильтр.
Билинейное преобразование обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции аналогового фильтра-прототипа в передаточную функцию цифрового фильтра: .
Рассмотрим это преобразование.
Каждой точке комплексной р-плоскости () ставится в соответствие определенная точка z-плоскости ().
Мнимая ось р-плоскости () для отображается в единичную окружность вz-плоскости (). Левая половина р-плоскости отображается в часть z-плоскости внутри единичного круга .
Очень важными являются два обстоятельства.
Во-первых, поскольку все полюсы устойчивого аналогового фильтра расположены в левой половине р-плоскости, то при преобразовании аналогового фильтра к цифровому получается также устойчивый фильтр.
Во-вторых, так как мнимая ось р-плоскости отображается на единичную окружность z-плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ аналогового фильтра сохраняется и в АЧХ цифрового фильтра.
|
|
Сохраняется также неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот.
Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры.
Соотношение между «аналоговыми» частотами и «цифровыми» частотами определяется уравнением
;
где - нормированная относительно частоты дискретизации «цифровая» частота.
Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.
1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу:
,
где w - реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ,
- расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ.
2. Рассчитать передаточную функцию АФ , применяя методы расчета аналоговых фильтров.
3. Определить передаточную функцию ЦФ по известной .
4. Построить схему ЦФ по .
5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.
В данной лабораторной работе будем использовать аппроксимацию характеристик фильтров полиномами Баттерворта и Чебышева.