Мысал 1

Үш өлшемді стационар емес диффузия теңдігі, интегралдау облысы — параллелепипед. Вертикаль бағытта (ось 0z),диффузиия коэффициенті вертикаль жазықтықта координатасы арқылы тәуелді, геофизика есебіне арналған, — горизонталь жазықтықтағы диффузия коэффициенті. Есеп мына түрде берілген

Қарастырылатын үш өлшемді есеп, бір өлшемді есепке сәйкестендіріледі.Бірінші есеп мына түрде

Олар вертикаль жазықтықтағы диффузияны сипаттайды. Екінші, үшінші есептің өзін жазамыз

Енді дифференциалдық теңдік үшін әр түрлі аппроксимацияны қарастырамыз.

Әр түрліКомпоненттік екі циклды ыдырау әдісі мынаны қарастырады

Мысал 2. Жүктелген стационар емес ауысым және и диффузия теңсіздігі

мұнда операторлар анықталған

Мұнда v₁, v₂, v₃ — компонентті векторлық жылдамдық, u —субстанция концентрациясы, — сыртқы ортадағы субстанция коэффициенті . Ыдырау схемасын мына түрде көз алдымызға елестетеміз.

Әр түрлі операторлар аппроксимацияланады, сәйкесінше жергілікті – бір өлшемді дифференциалдық операторларда. Қарастырылатын есеп үшін

Қарастырылып отырған есептің әр этабында физикалық процесстің ыдырауы жүргізілген. Екі өлшемді конвекция теңдігі - диффузия

компонент жылдамдығы ортаның жылдамдығы v₁, v₂ теңдігін қанағаттандырады.

Ыдырау есебінің бірінші этабы физикалық ауысым процесімен байланысты, онда теңсіздік аналогы шешіледі.

Ыдыраудың екінші этабы диффузия процессін сипаттайды.

Мысал 3. Газдық динамика теңсіздігінің ыдырауы

u₁, u₂ — компоненттік вектор жылдамдығы , P — газ қысымы, — жазықтық, — ішкі энергия.

Бірінші (Эйлер) этап. Тек қана биіктік өлшенеді, бүтін ұяшыққа қатысты, ал сұйықтық ішкі ұяшықтың торы ретінде саналады. Есеп формула бойынша, теңсіздік аппроксимацияланады

Екінші (Лагранж) этапта шекара арқылы газ жылдамдығың массасы, эйлер ұяшығы, импульс, энергия өтеді, газ параметрін анықтайды.; определяются поля. Теңсіздік аппроксимацияланады

8.4. Факторлар операторының ыдырау әдісі

8.4.1. Факторланған ыдырау схемасы

Дифференциалдық теңдеуді шешу үшін берілсін

әр түрлі схема қолданылады , онда n = 0, 1,... Есептеу үшін Fⁿ, O(N) алсақ, арифметикалық саны N торының санына прапорционал. Мұндай оператор экономикалық деп аталады.

Егер (i = 1, 2,..., N) – экономикалық оператор болса, онда . Бұл схеманы факторланған оператор схемасы деп атаймыз , егер ол мына түрде болса

Бұл схема экономикалық болады, сондай – ақ әр түрлі теңсіздік шешу үшін, бұрынғыша O(N) қажет болады. Мәселен, теңсіздік шешімі

Қорытынды кезінде шешімі табылған

мұнда i = 2, 3,..., N. Онда u^{n + 1} = u_n. Есепке ескертпелер енгізілген - аралық мағына.

Факторлық оператор схемамен бірге, кей жағдайда факторлық схема деп аталады. Тұрақты схема факторлық оператор , сондай – ақ ақырлы оператор , экономикалық схема табылады.

Мысал. Ауыспалы бағыт әдісі. Сызықтық екі өлшемді жылулық теңдігін келтіреміз. Санаулы формулалары бар

Онда u^{n + 1/2} қоса алғанда, операторлық формада аламыз

және , онда

факторлық ыдырау схемасы ретінде ұсынылады:

8.4.2. Жақын фактордың анық емес ыдырау схемасы

Анық емес схеманы қарастырамыз

(8.7)

Анық емес схеманы (8.7) түрінде береміз

(8.8)

(8.8) схемасын жақын нүктеге дейін анықтаймыз, тәртіп реті Ол үшін (8.8) ауыстырамыз, оператор факторлық

ескертпе енгізілген кезде

Қорыта келе анық емес факторлық схемаға жақындаймыз

әлде

Бұл схема шартты тұрақты, аппроксимацияның бірінші ретін қарастырады.

8.4.3. Предиктор – корректор әдісі

Негізгі әдіс идеясы " Предиктор – корректор әдісі "мағынасы мынада.Әр бөлімде [tⁿ, t^{n + 1}]есеп екі жолмен шешіледі: бірінші аппроксимация схемасы бойынша және ерекше шарт уақыт аралығы — предиктор. Екінші этапта жоғары ретпен шешімі жазылады - корректор. Негізгі идеясы Рунге – Кутта әдісіне ұқсайды.

Келесі ыдырау схемасы ретінде қарастырамыз:

Егер бұл ыдырау схемасын қоссақ u^{n + 1/4}, онда санаулы формула ретін аламыз

Ары қарай, , мынаны аламыз

Егер мына шарт орындалса

, , әр түрлі схеманың коэффициенті уақытқа тәуелді болмайды, онда дифференциалдық шешім шартты, екінші ретпен аппроксимацияланады.

Ары қарай қарастыратынымыз суммалық оператор ретінде ұсынылады

Егер бұл оператор шартты болса. Бұл әдісті санаулы формуламен жазуға болады.

Бұл теңдік аралық этаптан кейін, бір теңдікке ығысады

Схема құрылымына мысал келтірейік. Стационар емес үш өлшемді жылулық теңсіздігі

Келесі теңдікті аламыз

Алдымызда канондық түрдегі схема

Схема шартты тұрақты, аппроксимацияның екінші ретінде қолданылады және h_i бойынша.Практикалық есеп шешуде жиі қолданылады.Канондық схема түрі теориялық зерттеу кезінде өте қолайлы..

Курсқа арналған кітаптар

1. Лобанов А.И., Петров И.Б. Лекции по вычислительной математике БИНОМ. Лаборатория знаний, Интернет-университет информационных технологий - ИНТУИТ.ру, 2006

Әдебиеттер тізімі

1. В.С.Рябенький Введение в вычислительную математику М.: Физматлит, 2000. 294 с

2. Н.В.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков Численные методы М: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 632 с

3. В.И.Косарев 12 лекций по вычислительной математике М.: Изд-во МФТИ, Физматкнига, 2000. 220 с

4. А.А.Самарский Введение в численные методы М.: Наука, 1997. 234 с

5. А.А.Амосов, Ю.А.Дубинский, Н.В.Копченова Вычислительные методы для инженеров М.: Высшая школа, 1994. 544 с

6. Д. Каханер, К.Моулер, С.Нэш Численные методы и программное обеспечение М.: Мир, 1998. 575 с

7. Воеводин В.В Вычислительные основы линейной алгебры М.: Наука, 1977. 303 с

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления М.: Мир, 1999. 548 с

9. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения М., Мир, 2001. 429 с

10. Фадеев А.К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2002. 736 с

11. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления М.: Наука, 1984. 320 с

12. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры М.: Наука, 1980. 240 с

13. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры Новосибирск, Наука, 1993. 158 с

14. Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения М.: Высшая школа, 2000. 266 с

15. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений М.: Мир, 1980. 279 с

16. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику М.: Изд-во МФТИ, 1994. 526 с

17. Калиткин Н.Н. Численные методы М.: Наука, 1978. 512 с

18. Бирюков С.И. Оптимизация. Введение в теорию. Численные методы М.: МЗ-пресс, 2003. 244 с

19. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1981

20. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с Элементы теории функций и функционального анализа М.: Наука, 1981

21. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика М.: Мир, 1969. 448 с

22. Лобанов А.И., Петров И.Б. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. Ч. 1 М.: МФТИ, 2004. 168 с

23. Вержбицкий В.М. Численные методы М.: Высшая школа, 2005. 866 с

24. Шарковский А.H., Майстренко Ю.А., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения Киев: Наукова думка, 1986. 279 с

25. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос М.: Наука, 1992. 541 с

26. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики М.: Наука, 1989. 608 с

27. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн - функций М.: Наука, 1980. 352 с

28. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии М.: Машиностроение, 1985. 224 с

29. Вершинин В.В., Завьялов Ю.С., Павлов Н.Н. Экстремальные свойства сплайнов и задача сглаживания Новосибирск: Наука, 1988. 104 с

30. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы М.: Наука, 1989. 430 с

31. Бабенко К.И. Основы численного анализа М.: Наука, 1986. 744 с

32. Рябенький В.С., Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных уравнений М.: Гостехиздат, 1956. 160 с

33. Рябенький В.С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошной среды М.: Наука, 1987. 320 с

34. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена М.: Мир, 1988. 544 с

35. Калиткин Н.Н. и др. Математическое моделирование 1994, т. 6, 1;4, с. 77 - 110, 1997, т. 9, 1;6, с. 67 - 81, 1997, т. 9, 1;9, с. 107 - 116

36. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2 М.: Физматгиз, 1962. 464 с

37. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи М.: Мир, 1990. 512 с

38. Curtis А.R. High - order Explicit Runge - Kutta Formula, Their Uses, and Limitations J.Jnst.Math.Applics. 1970. V. 16. P. 35 - 58

39. Hairer Е. A Runge - Kutta Method of Order 10 J.Jnst.Math.Applics. 1978. V. 21. P. 47 - 59

40. Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta Formulae J.Comp.Appl.Math. 1980. V. 6. P. 19 - 26

41. Prince P.J., Dormand J.R. High Order Embedded Runge - Kutta Formulae J.Comp.Appl.Math. 1981. V. 7. P. 67 - 78

42. Fehlberg E Classical Fifth -, Sixth -, Seventh and Eighth Order Runge - Kutta formulas with step size control. NASA Technical Report. 1968, 287. Extract published in // Comptuting. 1969. V. 4. P. 93 – 106. Classical Fifth -, Sixth -, Seventh and Eighth Order Runge - Kutta formulas with step size control NASA Technical Report. 1968, 287. Extract published in // Comptuting. 1969. V. 4. P. 93 - 106

43. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально - разностные уравнения М.: ИЛ, 1961. 248 с

44. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 3 - е изд. М.: Наука, 1984. 272 с

45. Малинецкий Г.Г. Задачи по курсу нелинейной динамики / В кн.: Новое в синергетике. Загадки мира неравновесных структур М.: Наука, 1997. С. 215 - 262

46. Уатт Дж. Холл, Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Мир, 1979. 312 с

47. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге - Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений М.: Мир, 1988. 334 с

48. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения М.: Наука, 1980

49. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания М.: Наука, 1975. 248 с

50. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно - возмущенных системах М.: Наука. Физматлит, 1995. 336 с

51. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи М.: Мир, 1990. 512 с

52. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально - алгебраические задачи М.: Мир, 1999. 685 с

53. К.И. Бабенко. Теоретические основы и конструирование алгоритмов задач математической физики М.: Наука, 1979

54. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4 изд. М.: Наука, 1988. 552 с

55. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков М.: Мир, 1990. 660 с

56. Г.И. Марчук. Вычислительные процессы и системы. Вып. 8 М.: Наука, 1991. 380 с

57. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1979. 160 с

58. Лохов Г.М., Подзоров С.И., Щенников В.Вл Методы численного исследования жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Уч. пособие. 2- е изд. М.: МФТИ, 1997. 140 с. Методы численного исследования жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Уч. пособие. 2- е изд М.: МФТИ, 1997. 140 с. М.: МФТИ, 1997. 140 с

59. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика М.: Физматлит, 2000. 296 с

60. Р. Филда, М. Бургер. Колебания и бегущие волны в химических системах М.: Мир, 1988. 720 с

61. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент М.: Наука, 1998 (или Эдиториал УРСС, 2000.)

62. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны М.: Наука. Физматлит, 1997. 496 с

63. Кондрашов А.С., Хибник А.И. Экогенетические модели как быстро - медленные системы. / В кн.: Исследования по математической биологии Пущино, 1996. с. 88 - 123

64. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений М.: Наука, 1978. 590 с

65. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач М.: Мир, 1982. 294 с

66. Толстых А.И. Компактные разностные схемы и их применение в задачах аэрогидродинамики М.: Наука, 1990. 230 с

67. Чанг К., Хауэрс Ф. Нелинейные сингулярно - возмущенные краевые задачи М.: Мир, 1988. 248 с

68. Лэм Дж. Введение в теорию солитонов М.:Мир, 1981. Могилев: Бибфизмат, 1997. 294 с

69. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны М.: Наука - Физматлит, 1997. 496 с

70. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы, введение в теорию М.: Наука, 1977. 400 с

71. Самарский А.А. Теория разностных схем М.: Наука, 1983. 656 с

72. Самарский А.А., Вабищевич П.Н., Матус Г.П. Разностные схемы с операторными множителями Минск, 1998. 441 с

73. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики М.: Научный мир, 2003. 316 с

74. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике М.: Наука, 1992. 128 с

75. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики М., Изд - во МГУ, 2002

76. Владимиров В.С. Уравнения математической физики М.: Наука, 1984

77. Соболев С.Л. Уравнения математической физики М.: Наука, 1992

78. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений М.: Наука, 1987. 480 с

79. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос М.: Наука, 1992. 544 с

80. Курдюмов С.П., Куркина Е.С. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей М.: Едиториал УРСС, 2005. 512 с

81. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Новосибирск: Наука, 1967. 196 с

82. Марчук Г.И. Методы расщепления М: Наука, 1988. 263 с

83. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2 - х т., Т.1: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 384 с

84. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны М.: Наука - Физматлит, 1997. 496 с

85. Хайрер Э., Нернсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи М.: Мир, 1990. 512 с

86. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. 3 - е изд. М.: Наука. Физматлит, 1998. 232 с

87. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М.: Наука, 1982. 302 с

88. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике Новосибирск, Наука, 1985. 364 с

89. Борис Дж.П., Бук Д.Л. Решение уравнения непрерывности методом коррекции потоков. / В кн. Вычислительные методы в физике. Управляемый термоядерный синтез М.: Мир, 1980. с. 92 - 141

90. Boris J.P. Book D.L. J. Comput. Phys., 1973, Vol. 11, pp. 38 - 69

91. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло - и массообмена М.: Наука, 1984. 288 с

92. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений М.: Физматлит, 2001. 608 с

93. Магомедов М. - К.М., Холодов А.С. Сеточно - характеристические численные методы М.: Наука, 1988. 288 с

94. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы, введение в теорию М.: Наука, 1977. 400 с

95. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей М.: Мир, 1991. 240 с

96. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред М.: Физматлит, 1994. 442 с

97. Лобанов А.И., Петров И.Б., Старожилова Т.К. Вычислительные методы для анализа моделей сложных динамических систем. ч. II. Учебное пособие М.: МФТИ, 2002. 154 с

98. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике М.: Наука, 1978. 687 с

99. Жуков А.И. Метод Фурье в вычислительной математике М.: Наука, 1992. 128 с

100. Галанин М.А. Численное решение уравнения переноса. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей М.: Едиториал УРСС, 2005. 512 с

101. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков М.: Мир, 1990. 661 с

102. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т. 1, 2. М.: Наука, 1976

103. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа М.: Дрофа, 2003. 840 с

104. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 336 с

105. Попов Ю.П. О консервативности разностных схем. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей М.: Едиториал УРСС, 2005. 512 с

106. Магомедов М. - К.М., Холодов А.С. Сеточно - характеристические численные методы М.: Наука, 1988. 288 с

107. Годунов С.К., Забродин А.В. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики М.: Наука, 1976. 400 с

108. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений М.: Наука, 1978. 687 с

109. Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач газовой динамики. Вычислительные методы в гидродинамике М.: Мир. 1967. 460 с

110. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей М.: Мир, 1991. 240 с

111. Андерсен Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен М.: Мир, 1990. т. 1, 2

112. Courant T.R., Isacson Е, Rees М. On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences Commun. Pure and Appl. Math. 1952. v. 5. 1;5. РР. 243 - 254

113. Yce H.C. Construction of Explicit and Implicit Symmetric TVD Schemes and Their Applications J. of Comp. Physics. 1987. Vol. 68. РР. 151 - 179

114. Гущин В.А., Коньшин В.Н. Численное моделирование волновых движений жидкости. Сообщения по прикладной математике Препринт ВЦ АН СССР. 1985. 36 с

115. Петров И.Б., Холодов А.С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа ЖВМиМФ. 1984. т. 24. 1; 8. С. 1172 - 1188

116. Leer B.Van Towards the ultimate conservative difference scheme. II. Monotonicity and conservation combined in a second - order scheme J. of Appl. Phys. 1974. v. 14. 1; 4. РР. 361 - 370

117. Магомедов М. - К.М., Холодов А.С. Сеточно - характеристические численные методы М.: Наука, 1988. 288 с

118. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений гиперболического типа ЖВМиМФ. 1980. т. 20. 1; 6. С. 1601 - 1620

119. Магомедов К.М., Холодов А.С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений ЖВМиМФ 1969. т. 9. 1; 2. с. 373 - 386

120. Boris J.P., Book D.L. Flux - corrected transport. I. Shasta a fluid transport algorithm that works J. of C. Ph. 1973. Vol 11. 1; 1. РР. 38 - 69

121. Воробьев О.В., Холодов А.С. Об одном методе численного интегрирования одномерных задач газовой динамики Математическое моделирование. 1996. т. 8. 1;1. С. 77 - 92

122. Lax P.D. Wendroff Difference schemes for hyperbolic equations with high orders of accuracy Comm. Pure. Appl. Math. 1964. v. 17. 1; 3. РР. 381 - 398

123. Vyaznikov K.V., Tishkin V.F., Favorskii A.P. One way to Construct Higher - Order Accurate Monotonic Difference Schemes for Systems of Hyperbolic Equations MMCE. 1994. v. 2. 1; 2. РР. 189 - 212

124. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Шашков М.Ю. Квазимонотонные разностные схемы высокого порядка точности Препринт ИПМ АН СССР. 1987. 1; 36. 27 с

125. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно - разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики Ученые записки ЦАГИ. 1972. т. 3. 1; 6. С. 68 - 77

126. Harten A.J. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws J. Comput. Phys. 1983. v. 49. РР. 357 - 393

127. Родионов А.В. Повышение порядка аппроксимации схемы ЖВМиМФ. 1987. т. 27. 1; 12. С. 1853 - 1860

128. Bovrel M., Montagne J.L. Numerical study of a non - centered scheme with application to aerodynamics AIAA Paper. 1985. 1;. 85 - 1497. [Idem, in AIAA 7th Comput. Fluid Dyn. Conf. Cincinnati, Ohio, 1985, July 15 - 17. A Collect. Techn. Papers, 88 - 97, AIAA, New York]

129. Куропатенко В.Ф. О разностных методах для уравнений гидродинамики Тр. МИАН СССР, 1966. Т. 74. С. 107 - 137

130. Родионов А.В. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных течений ЖВМиМФ. 1987. т. 27. 1; 4. С. 585 - 593

131. Leer B.Van. On the relation between the upwind - differencing schemes of Godunov, Engquist - Osher and Roe. SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1984. vol. 5. 1; 1, РР. 1 - 20

132. Engqist B., Osher S. One - sided difference approximations for nonlinear conservation laws Math. Comput. 1981. vol 36. 1; 154. РР. 321 - 351

133. Osher S. Numerical solution of singular perturbation problems and hyperbolic system of conservation laws In: North Holland Mathematical Studies. 1981. vol. 47. РР. 179 - 205

134. Roe P.L. The use of the Riemann problem in finite differences Lect. Notes Phys. 1981

135. Proc.7th Int.Cont.Numer.Meth. Fluid Dynamics. June 23-27. 1980. vol.141. РР.354-359

136. Roe P.L. Approximate Riemann problem solvers, parameter vectors, and difference schemes J. Comput. Phys. vol. 43. 1; 2. РР. 357 - 372

137. Miller G.N., Pucket E.G. A high - order Godunov method for multiple condensed phases
J. Comp. Phys. 1996. vol. 128. 1; 1. РР. 134 - 164

138. Miller G.N., Colella P. A high - order eulerian Godunov method for elastic - plastic flow in solids J. Comp. Phys. vol. 167. 1; 1. РР. 131 - 176

139. Leer B.Van. Towards the ultimate conservative difference scheme. V. A. second - order sequel to Godunov's method J. Comp. Phys. 1979. v. 32. 1; 1. РР. 101 - 136

140. Меньшов И.С. Повышение порядка аппроксимации схемы Годунова на основе решения обобщенной задачи Римана ЖВМиМФ. 1990. т. 30. 1; 9. С. 1357 - 1371

141. Моисеев Н.Я. Об одном способе повышения точности решений в разностных схемых, построенных на основе метода С.К. Годунова Вопросы атомной науки и техники. Сер.: Методики и программы численного решения задач математической физики. 1988. вып.1. С. 38 - 45

142. A. Harten. ENO Schemes with Subcell Resolution Journal of Computational Physics.1989. v. 83. pp. 148 - 184

143. Harten A. Uniformly High Order Accurate Essentially Non - oscillatory Schemes J. of Comp. Ph. 1987. vol. 71. РР. 231 - 303

144. Jee N.S. Construction of explicit and implicit symmetric TVD schemes and their application J. Comp. 1987. v. 68. 1; 1. РР. 151 - 179

145. Ершов C.B. Монотонная ENO - схема повышенной точности для интегрирования уравнений Эйлера и Навье – Стокса Математическое моделирование. 1994. Т. 6. 1; 11. С. 63 - 75

146. Ильин С.А., Тимофеев Е.В. Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для одномерного линейного уравнения переноса
Математическое моделирование. 1992. Т. 4. 1; 3. С. 62 - 75

147. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики М., Наука, 1989. 608 с

148. Иванов В.Д., Косарев В.И. и др. Лабораторный практикум "Основы вычислительной математики" М.: МЗ Пресс, 2003. 193 с

149. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы математической физики М.: Научный мир, 2003. 316 с

150. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения М., Мир, 2001. 429 с

151. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, Том 1 М. Наука, 2005. 343 с

152. Холодов А.С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами Математическое моделирование. 1991. Т. 3. 1; 9. С. 104 - 113

153. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем М.: Наука, 1979. 320 с

154. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости М.: Мир, 1973. 758 с

155. Марчук Г.М., Агошков В.И. Введение в проекционно - сеточные методы М.: Наука, 1981. 414 с

156. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов М.: Мир, 1977

157. Ши Д. Математическое моделирование задач тепло - и массообмена М.: Мир, 1988. 544 с

158. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике М.: Мир, 1985. 590 с

159. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Методы расщепления в задачах газовой динамики Новосибирск: Наука, 1981. 263 с

160. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально - алгебраические системы М.: Мир, 1999. 685 с

161. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с

162. Воеводин В.В. Параллельные структуры алгоритмов и программ М.: ОВМ АН СССР, 1987. - 148 с

163. Фаддеева В.Н., Фаддеев Д.К. Параллельные вычисления в линейной алгебре Кибернетика. 1982. 1; 3. С. 18-31, 44

164. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задач математической физики М.: Наука, 1999. 319 c

165. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах М.: Наука, 1986. 296 с