Критерий устойчивости Михайлова. Данный критерий позволяет определить устойчивость системы по виду характеристического уравнения замкнутой системы с помощью частотных характеристик

Данный критерий позволяет определить устойчивость системы по виду характеристического уравнения замкнутой системы с помощью частотных характеристик.

Характеристический полином:

Корни характеристического уравнения

Далее строится годограф (см. Рис. 11.1):

Рис.11.1 Плоскость корней характеристического уравнения

Рассматривается левый корень:

Для правых корней:

При изменении частоты получаем аргумент:

Пусть есть n корней, из которых m-в правой полуплоскости

При изменении частоты получаем аргумент:

Для устойчивости системы не должно быть корней в правой полуплоскости: m=0

Критерий Михайлова-годограф -кривая Михайлова - симметрична относительно действительной оси.

Отрицательные частоты не рассматриваются. Пусть дана система n порядка

,где

При -начальная точка кривой Михайлова

При

Для устойчивости линейной системы порядка n необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова начиналась на действительной оси и последовательно охватывала n квадрантов против часовой стрелки, при этом все время окружая начало координат (См. Рис. 11.2).

Рис.11.2 данные системы устойчивы

Рис. 11.3

В данном случае система неустойчива (рис.11.3, справа), так как есть корни в правой полуплоскости.

Другая форма критерия Михайлова

Эта форма состоит в том, что корни характеристического уравнения перемежаются один за другим от точки, где до точки, где (Рис.11.4). Мнимая и действительная оси должны попеременно пересекаться.

Рис. 11.4 Другая форма критерия Михайлова