Биения. Сложение перпендикулярных колебаний. Затухающие механические колебания

Биения - колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несклько различными, но близкими частотами. Б. возникают вследствие того, что разность фаз между двумя колебаниями с различными частотами всё время изменяется так, что оба колебания оказываются в какой-то момент времени в фазе, через некоторое время - в противофазе, затем снова в фазе и т.д.

Пусть складывается два колебания с почти одинаковыми частотами, т.е.

, .

Из тригонометрии: .

Применяя к нашему случаю, получим:

График результирующего колебания - график биений, т.е. почти гармонических колебаний частоты ω, амплитуда которых медленно меняется с частотой Δω.

Амплитуда из-за наличия знака модуля (амплитуда всегда > 0) частота с которой изменяется амплитуда, равна не Δω / 2, а в два раза выше - Δω.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний. Рассмотрим колебательную систему, состоящую из точечного груза массы и четырех связанных с ним пружин.

Мгновенное расположение точки m описывается двумя смещениями из положения равновесия - точки О: и Такая система обладает двумя степенями свободы. Будем считать смещения малыми. При таких условиях колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях происходят независимо друг от друга:

Здесь собственные частоты гармонических колебаний равны

Рассмотрим вначале движение груза, если (жесткости всех пружин одинаковы).

Умножим первое уравнение на а второе - на и вычтем второе уравнение из первого. В результате получим

Теперь умножим первое уравнение на а второе - на повторим вычитание и получим

Наконец, возведем в квадрат каждое из равенств и сложим их. В результате время будет исключено, а уравнение траектории движущегося груза будет уравнением эллипса:

Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей O s ₁ и O s ₂ зависят от начальной разности фаз На рис. 1.8 изображены траектории движения груза при различных значениях

Если частоты двух взаимно-перпендикулярных колебаний не совпадают, но являются кратными: где и - целые числа, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу (рис. 1.9). Отметим, что отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана.

Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке.

Затухающие механические колебания.Затухающие колебания – колебания, происходящие в присутствии внешних сил. Амплитуда уменьшается. Сила трения меняется по закону:

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где, -коэфициент затухания.

Амплитуда затухающих колебаний меняется по закону

Частота не меняется.