Определение. Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения, если ее функция плотности вероятности имеет вид:
f(x)= ,
где σ и a – параметры распределения.
Определение. График функции f(x) называется нормальной кривой или кривой нормального распределения.
Методами дифференциального исчисления можно установить, что:
1. кривая симметрична относительно прямой х= a;
2. функция имеет максимум при х= a f(a)= ;
3. по мере удаления х от точки a функция убывает и при х→ ∞ кривая приближается к оси Ох;
4. кривая выпукла вверх при х є (a – σ; a + σ) и
выпукла вниз при х є (– ∞; a – σ) и х є (a + σ; + ∞).
|
Рис. 4. Кривая нормального распределения.
Замечание. Форма кривой изменяется с изменением параметра σ. С возрастанием σ кривая f(x) становится более пологой и растянутой вдоль оси Ох.
Значениям случайной величины, близким к математическому ожиданию, соответствует большая плотность вероятности, то есть малые отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания встречаются чаще, чем большие.
|
|
Так как случайная величина определена на всей числовой оси, то при вычислении числовых характеристик рассматривается интеграл на промежутке (– ∞; +∞). Можно показать, что:
М(Х) = = ,
D(Х)= ,
σ(Х) = σ.
Свойства нормального распределения.
1. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β), находится по формуле:
Р(α < Х < β) = Ф —Ф ,
где Φ(х) – функция Лапласа (см. приложение 2).
2. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ находится по формуле:
Р( <δ)=2Ф().
В частности при a =0 справедливо равенство:
Р( <δ)= 2Ф().
Правило «3 σ».
Для нормально распределенной случайной величины велика вероятность того, что при однократном испытании отклонение величины от ее математического ожидания не превышает среднего квадратического отклонения.
Преобразуем формулу Р( <δ)=2Ф(), положив δ=σ·t. В итоге получим
Р( <σ·t)=2Ф(t).
Если t=3 и, следовательно, σ·t=3σ, то < = , то есть вероятность того, что отклонение от математического ожидания по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Это и есть правило «3 σ».
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027.
Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти, что значения нормально распределенной случайной величины выйдут за пределы интервала (a – 3σ; a + 3σ). Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным. В этом и состоит сущность правила трех сигм.
|
|
Пример 1.Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х равны соответственно 11 и 4. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенного в интервале (19;23).
Решение. Воспользуемся формулой:
Р(α<Х<β)=Ф —Ф .
По условию, α = 19; β = 23; а = 11; σ = 4, тогда
Р(19<Х<23)=Ф – Ф = Ф(3) – Ф(2).
По таблице приложения 2 находим: Ф(3)=0,49865, Ф(2)=0,4772.
Найдем искомую вероятность (вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (19;23)):
Р(19<Х<23)=0,49865 – 0,4772=0,02145.
Пример 2. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины Х равно 5 и среднее квадратическое отклонение равно 2. Написать плотность вероятности Х.
Решение. Плотность нормально распределенрон случайной величины Х имеет вид:
f(x)= .
Подставив a =5 и σ=2, получим:
f(x)= .
§13. Статистическое распределение выборки
Пусть для изучения количественного (дискретного или непрерывного) признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1 наблюдалось n1 раз, значение x2 наблюдалось n2 раз, …, значение xk наблюдалось nk раз.
Наблюдаемые значения xi (i = 1, 2, …, n) признака Х называют вариантами, а последовательность всех вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений ni называют частотами, их сумма ─ объем выборки. Отношения частот к объему выборки ─ относительными частотами.
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi вариационного ряда и соответствующих им частот ni (сумма всех частот равна объему выборки n) или относительных частот Wi (сумма всех относительных частот равна единице). Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).
Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами (или относительными частотами).
Пример. Задано распределение частот выборки объема n = 20:
В данной выборке получены следующие варианты x1 = 2; x2 = 6; x3 = 12,
соответствующие частоты n1 = 3; n2 = 10; n3 = 7.
Напишем распределение относительных частот.
Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки = 3 + 10 + 7 = 20.
─ относительные частоты:
Напишем распределение относительных частот:
0,15 | 0,50 | 0,35 |
Контроль: сумма всех относительных частот равна единице:
.