Нормальное распределение. Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид

Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее функция плотности распределения вероятностей имеет вид

где a — математическое ожидание;

— среднее квадратичное отклонение.

Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) находится по формуле

, где Ф(x)= — функция Лапласа.

Значения функции Лапласа для различных значений x можно найти в справочниках.

168. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно 5, дисперсия равна 9. Написать выражение для плотности вероятности.

169. Найти M(4X– 3) D (4X– 3), если плотность случайной величины Xимеет вид:

170. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной случайной величины X соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что слу­чайная величина примет значение, заключенное в интервале (14; 16).

171. Случайная величина нормально распределена. Известно, что MX=-2, DX=1 Найти:

а) плотность вероятности случайной величины и ее значения в точках x=-1, x=0, x=2

б) вероятности P(-2<X<0), P(X>1)

172. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону, математическое ожидание которой равно 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью р — 0,9972 попадет случайная величина.

173. Случайная величинах распределена по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный относительно математического ожидания интервал, в который с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.

174. Известно, что средний расход удобрений на один гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное отклонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нормально распределенной случайной величиной, определить диапазон, в который вносимая доза удобрений попадает с вероятносгью 0,98.

175. Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины — количества сыра, используемого для изготовления 100 бутербродов,— равно 1кг. Известно, что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бутербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее чное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.

176. Уровень воды в реке – это нормально распределенная случайная величина со средним значением 2,5 м и стандартным отклонением 20 см. Оценить вероятность того, что в наудачу выбранный день:

а) уровень превысит 3 м; б) окажется в пределах от 2,2 м до 2,8 м.

177. Суточное потребление электроэнергии в населенном пункте является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием 2000 кВт/ч и дисперсией 20000. Найти вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в населенном пункте будет от 1500 до 2500 кВт/ч

178. Месячная прибыль компании Мобильные телефоны Средиземья (МТС) является нормальной случайной величиной с математическим ожиданием 1 000 в валюте Средиземья и дисперсией 250 000. Чему равна вероятность того, что прибыль компании окажется:
а) в пределах от 500 до 2 000?; б) более 1 250?
Построить график плотности данного нормального распределения и указать на графике область, соответствующую вероятности из пункта а)

179. Доход фирмы за месяц представляется нормально распределенной случайной величиной со средним значением 3 млн. долл. и средним квадратическим отклонением 0.5 млн. долл.. Найдите вероятность того, что в данном месяце доход фирмы будет более 4 млн. долл. Напишите формулу плотности распределения этой случайной величины, нарисуйте ее график и покажите на нем вычисленную вероятность.