Примеры факторного анализа

Пример 1.

В одном из районов развития гранитоидного магматизма было отобрано 70 проб из грейзенизированных гранитов. В пробах было определено содержание пяти компонент (признаков): SiO ₂, Na ₂ O, K ₂ O, Li, Be.

Результат анализа каждой пробы представляет собой случайную пятикомпонентную величину , где t - номер пробы; X ₁, X ₂, X ₃, X ₄, X ₅ – содержания компонентов SiO ₂, Na ₂ O, K ₂ O, Li, Be соответственно.

Необходимо произвести факторный анализ с целью выяснения геохимических и генетических особенностей объекта.

Решение

На первом шаге факторного анализа методом главных компонент по выборочной совокупности были вычислены: корреляционная матрица системы используемых признаков (табл.1), её собственные значения, факторные нагрузки и веса факторов (табл.2).

Таблица 1

Корреляционная матрица

Признаки	Коэффициенты корреляции
SiO 2	Na 2 O	K 2 O	Li	Be
SiO 2	1,00	-0,49	0,25	0,39	-0,07
Na 2 O	-0,49	1,00	-0,11	-0,43	-0,19
K 2 O	0,25	-0,11	1,00	0,74	0,51
Li	0,39	-0,43	0,74	1,00	0,65
Be	-0,07	-0,19	0,51	0,65	1,00

Примечание: коэффициенты корреляции являются значимыми (b=0,05) при их абсолютном значении не менее 0,532.

Таблица 2

Факторные нагрузки, собственные значения и веса факторов

Признаки	Факторные нагрузки
F1	F2	F3	F4	F5
SiO 2	0,506	0,736	0,340	0,287	-0,068
Na 2 O	-0,558	-0,609	0,511	0,230	0,068
K 2 O	0,794	-0,309	0,419	-0,265	-0,168
Li	0,943	-0,100	0,033	-0,007	0,316
Be	0,695	-0,535	-0,361	0,288	-0,133
Собственные значения	2,57	1,304	0,684	0,288	0,155
Веса факторов, %	51,4	26,1	13,7	5,8	3,1

Примечание: факторные нагрузки являются значимыми (b=0,05) при их абсолютном значении не менее 0,532.

Анализ корреляционной матрицы признаков позволяет выявить внутреннюю структуру, которая графически может быть представлена в виде корневой диаграммы (рис.3).

Рисунок 3 Диаграмма связи признаков

Величины собственных значений и веса факторов показывают, что значения исследуемых характеристик гранитоидов SiO ₂, Na ₂ O, K ₂ O, Li, Be определяются преимущественно на 51,4% действием одного фактора F ₁. Анализ признаковой структуры фактора F ₁ показывает, что нагрузка этого фактора значимо определяется концентрациями K ₂ O (0,794), Li (0,943), Be (0,695) имеет значимую отрицательную связь с Na ₂ O (-0,558) и более слабую, но положительную связь с SiO ₂ (0,506). Такой набор признаков и характер их действия позволяет предполагать, что фактор F ₁ отражает процесс грейзенизации, который протекает с привносом калия, кремния, лития, бериллия и выносом натрия.

Фактор F ₂ несет в себе 26,1% информации о рассматриваемом геологическом объекте. Анализ признаковых нагрузок этого фактора показывает, что он имеет значимую положительную связь с кремнекислотным компонентом SiO ₂ (0,736) и отрицательные связи со щелочным и щелочноземельными элементами Na ₂ O (-0,609), Be (-0,535), K₂O (-0,309), Li (-0,100). Такая признаковая структура фактора F ₂ позволяет предполагать, что он отражает завершающую стадию процесса грейзенизации – стадию образования кварцевых жил.

Фактор F ₃ несет в себе небольшую долю информации (13,7%) и им можно пренебречь, тем более, что ни одна из нагрузок этого фактора не является значимой. Однако, если задаться целью, проинтерпретировать этот фактор, то можно предположить, что он отражает более низкотемпературный метасоматический процесс, протекавший выше фронта грейзенизации, куда из грейзенизируемых пород выносился натрий.

Факторы F ₄ и F ₅ являются практически незначимыми и ими можно пренебречь.

Однако при более детальном рассмотрении расположения собственных чисел на рисунке 4 видно, что более чем 2 фактора участвует в данном процессе.

Рисунок 4

Для более четкого выявления структуры факторов можно использовать метод вращения. Окончательное решение должно базироваться на приемлемости с точки зрения научных представлений в данной области. Интерпретация фактора становится проще, если меньшее число признаков будет иметь существенные нагрузки в нем.

Один из известных методов «Варимакс» использует критерий, в котором для каждого признака добиваются, чтобы дисперсия квадратов нагрузок фактора была максимальна. Например, в пакете компьютерных программ для обработки и анализа статистической информации «Statistica» введены и другие критерии в зависимости от характера исследуемых объектов и признаков и решаемых задач. В программе требуется заранее ввести число факторов и критерий для вращения.

В приближении двух главных факторов мы получаем следующие факторные нагрузки.

Таблица 3

Факторные нагрузки, собственные значения и веса факторов

после вращения

Признаки	Факторные нагрузки
F1	F2
SiO2	0,045	0,889
Na2O	-0,155	-0,811
K2O	0,838	0,150
Li	0,854	0,411
Be	0,871	-0,088
Собственные значения	2,216	1,647
Веса факторов, %	44,3	32,9

Первый фактор F₁ (44,3%) определяется практически равным вкладом нагрузок K ₂ O (0,838), Li (0,854), Be (0,871), в то время как второй по значимости фактор F₂ (32,9%) определяется полярными признаками SiO ₂ (0,889) и Na ₂ O (-0,811).

В приближении трех главных факторов мы получаем следующие факторные нагрузки.

Таблица 4

Факторные нагрузки, собственные значения и веса факторов

после вращения

Признаки	Факторные нагрузки
F1	F2	F3
SiO2	0,145	0,329	0,885
Na2O	-0,117	-0,928	-0,259
K2O	0,900	-0,148	0,264
Li	0,869	0,316	0,209
Be	0,799	0,284	-0,421
Собственные значения	2,237	1,172	1,141
Веса факторов, %	44,7	23,4	22,8

В приближении трехфакторной модели следует, что процесс выноса натрия выделяется в отдельный фактор F₂ (23,4%) и становится предпочтительным, по сравнению с процессом образования кварцевых жил - фактор F₃ (22,8%).