2015-05-13
1504
Основные особенности собственных колебаний рассмотрим на примере механической колебательной системы с одной степенью свободы, т.е. такой системы, положение которой можно в любой момент времени определять только одной координатой. Будем считать, что размеры тела достаточно малы, чтобы его можно было рассматривать как материальную точку. Предположим, что при выводе тела из положения равновесия на него будут действовать силы, пропорциональные смещению и направленные противоположно этому смещению -kx. Как говорилось выше, трением, сопротивлением среды можно пренебречь. Внутренние же силы, величина и направление которых определяются смещением из положения равновесия, могут быть, например, силами упругости или силами другой природы, но изменяющимися так же, как и упругие 
. Такие силы, независимо от их природы, будем называть 'квазиупругими'. С учётом этих сил дифференциальное уравнение движения принимает вид
(314)
Решением дифференциального уравнения движения (314) имеет вид гармонической функции
(315)
Строгое доказательство этого даёт теория дифференциальных уравнений, мы же легко можем убедиться в справедливости этого утверждения путём подстановки решения (315) в уравнение(314)
Как видно, равенство будет соблюдаться для любого момента времени, если:
Действительно, отношение 
можно представить в виде квадрата некоторой величины, поскольку масса тела, коэффициент упругости и, следовательно, само отношение положительны. Как коэффициент k, так и масса тела являются внутренними параметрами колебательной системы, поэтому циклическая частота колебаний w не зависит от начальных условий. От начальных условий зависит только амплитуда колебаний и начальная фаза, которые можно найти из начальных условий, как это было показано ранее. Скорость и ускорение тела при собственных колебаниях также изменяются по гармоническому закону:
