Вторая квадратичная форма поверхности

ВНЕШНЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Пусть F – регулярная поверхность класса С² и = - ее векторная параметризация, заданная на Q.

Определение 1. Второй квадратичной формой поверхности F называется скалярное произведение

II = (),

где - нормаль к поверхности F, а - второй дифференциал вектор-функции . Так как

= ) = =

то

II = .

Введем для коэффициентов второй квадратичной формы следующие обозначения:

L = , M = , N = . (1)

Тогда

II = . (2)

Поскольку = = , то имеют место следующие формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы:

L = M = N = (3)

Пусть поверхность F задана явным уравнением класса С². В этом случае векторная параметризация поверхности F имеет вид:

^.

Ранее мы нашли коэффициенты первой квадратичной формы

Е = 1 + , F = × , G = 1 + .

Найдем производные и коэффициенты второй квадратичной формы:

, , , , .

EG - F² = (1 + )×(1 + ) – ² × ² = 1 + + .

() = = , L =

() = = , M =

() = = , N = .

Пример 1. Найти вторую квадратичную форму псевдосферы

где 0< u < p, 0 £ v < 2p, > 0.

Решение. Для нахождения коэффициентов второй квадратичной формы поверхности необходимо найти первые и вторые частные производные вектор-функции поверхности, а также коэффициенты первой квадратичной формы.

,

.

Находим коэффициенты первой квадратичной формы поверхности:

E = = = .

F = = 0.

G = = = .

E G – F² = ( ) = = =

.

Находим вторые частные производные:

,

,

.

Ранее мы получили формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы:

L = M = N = .

() = = ( −

− (− () =

= − + = − .

L = = − : = − .

L = − .

() = =

= − (− + ) = 0.

М = = 0.

() = =

= - (- - ) = × =

= .

N = = : = .

Ответ: - du² + dv².