Вычисление криволинейных интегралов II рода

Пусть функции , , непрерывны в точках гладкой кривой . Интегральной суммой для этих функций по координатам называется сумма вида

,

где , , – проекции на оси , , соответственно, – шаг разбиения кривой .

Криволинейным интегралом по координатам называется предел интегральной суммы при условии, что .

Если – кривая на плоскости, то криволинейный интеграл II рода имеет вид: , причем – криволинейный интеграл по координате «x»;

– криволинейный интеграл по координате «y».

Пусть – гладкая ориентированная кривая на плоскости.

а)

б)

Вычисление криволинейного интеграла II рода можно заменить вычислением двух определенных интегралов: один интегралом по переменной «x», а второй по переменной «y».

в)

(49)

г) Пусть – гладкая ориентированная пространственная кривая т.е

,

Замечание. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противоположный.

Криволинейный интеграл II рода есть работа, совершаемая переменной силой на криволинейном пути : .