Числовые ряды

Определение. Если последовательность чисел, то выражение вида называют числовым рядом.

Записывают: , – называют общим членом ряда, а сумму первых «n» членов ряда называют n -й частичной суммой ряда.

Определение. Если существует конечный предел , то ряд называют сходящимся, а число S называют суммой ряда и записывают

В противном случае ряд называют расходящимся.

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n, т.е. .

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера n, то ряд расходится.

Пример. Ряд – расходится, т.к. его общий член не стремится к нулю при : .

Замечание. Условие является необходимым для сходимости ряда, но не достаточным.

Пример. Гармонический ряд расходится, хотя .

Определение. Знакоположительным рядом называется ряд, у которого все члены положительны, т.е. ряд , где для всех .

Рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся признаки сходимости и расходимости рядов.

1. Первый признак сравнения.

Даны два ряда и и начиная с некоторого номера , тогда

1) если сходится, то и тоже сходится;

2) если расходится, то и тоже расходится.

2. Второй признак сравнения (признак эквивалентности).

Даны два ряда и . Если , то оба ряда ведут себя одинаково, т.е. одновременно сходятся или расходятся.

Замечание. Часто для сравнения используют

а) обобщенный гармонический ряд , который при сходится, при расходится;

б) геометрический ряд , который расходится при , а при сходится к ,

т.е.