Качественные методы исследования систем дифференциальных уравнений

Качественные методы исследования подобных систем рассмотрим на моделях, представимых в виде систем двух автономных дифференциальных уравнений:

Здесь , - непрерывные функции, определенные в некоторой евклидовой плоскости (x,y – декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область может быть как неограниченной, так и ограниченной. В том случае, когда переменные величины имеют конкретный биологический смысл, на них накладываются некоторые ограничения. Прежде всего, биологические переменные не могут быть отрицательными. Так, в модели Вольтерра, - переменная, характеризующая численность жертвы, а - хищника. Область представляет собой положительный квадрат правой полуплоскости:

В процессе изменения состояния системы во времени переменные изменяются согласно системе уравнений, так что каждому состоянию системы соответствует пара значений . Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных Такая плоскость носит название фазовой плоскости. Она представляет совокупность всех возможных состояний системы.

Точка называется изображающей. Пусть, при , координаты изображающей точки . В каждый следующий момент времени изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений и принимать положение , соответствующее значениям , .

Совокупность этих точек на фазовой плоскости называется фазовой траекторией. Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени.