Теорема 1. На сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов

Док-во: S_n – сумма n первых членов ряда, C_k – сумма k отброшенных членов, D_n-k – сумма членов ряда, входящих в сумму S_n и не входящих в C_k. Тогда имеем: S_n=C_k+D_n-k, где C_k – постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения следует, что если сущ-ет limD_n-k, то сущ-ет и limS_n; если сущ-ет lim S_n, то сущ-ет limD_n-k, а это доказ-ет справедливость теоремы.

2)Теорема 2. Если ряд a₁+a₂+...(1) сходится, и его сумма равна S, то ряд ca₁+ca₂+...(2), где c=const, также сходится и его сумма равна сS.

Док-во: обозначим n-ю частичн сумму ряда (1) через S_n, а ряда (2) – через D_n. Тогда D_n=ca₁+...+ca_n=c(a₁+...+a_n)=cS_n. Отсюда ясно, что передел n-ой частичной суммы ряда (2) сущ-ет, т.к.

lim D_n=lim(cS_n)=climS_n=cS. ч.т.д.

3)Теорема 3. Если ряды a₁+a₂+...(5) и b₁+b₂+...(6) сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁и S₂, то ряды (a₁+b₁)+(a₂+b₂)+...(7) и (a₁–b₁)+(a₂–b₂)+...(8) также сходятся, и их суммы, соответственно, равны S₁+S₂ и

S₁–S₂.

Док-во: док-ем сходимость ряда (7). Обозначая его n-ую частичную сумму через D_n, а n-е частичные суммы рядов (5) и (6) соответственно через S_1n и S_2n, получим: D_n=(a₁+b₁)+...+(a_n+b_n)=(a₁+...+a_n)+(b₁+...+b_n)=S_1n+S_2n. Переходя к в этом равенстве к пределу при n®¥:, получим limD_n=lim(S_1n+S_2n)= limS_1n+limS_2n=S_1n+S_2n.

Т.о., ряд (7) сходится и его сумма равна S_1n+S_2n.

4)Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то limU_n=0 n®¥.

Док-во: пусть ряд U₁+U₂+...+U_n+... сходится, т.е. limS_n=S n®¥, тогда имеет место равенство limS_n-1=S.

limS_n–limS_n-1=0, lim(S_n–S_n-1)=0. Но S_n–S_n-1=U_n следов-но lim U_n=0 ч.т.д.

7. Интегральный признак Коши.

Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(х) – такая непрерывная не возрастающая функция, что , , .

Тогда справедливы следующие утверждения:

если несобственный интеграл сходится, то сходится и исходный ряд;