Вычисление интеграла Лебега на прямой

Так как на распределение на прямой однозначно определяется функцией распределения

то интеграл Лебега часто обозначают так

и называют интегралом Лебега-Стильтьеса от функции g по функции F.

Если функция распределения имеет плотность

то предыдущий интеграл интеграл превращается в интеграл

где

мера Лебега на прямой.

Для доказательства этого достаточно опять рассмотреть простые функции и перейти к пределу. Можно показать, что

если функция g (x) интегрируема по Риману, то

где последний интеграл понимается в смысле Римана.

Таким образом, в практически важных случаях вычисление интеграла Лебега сводится к вычислению конечной суммы, ряда или интеграла Римана (или их комбинаций). В дальнейшем для интегралов по мере Лебега будем опускать символ и использовать такое же обозначение как и для интегралов Римана.