Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна

Лекция 6. Теория вероятностей

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Произведение событий

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий.

Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если А, В, С –появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC – выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Условная вероятность

Ранее случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Заметим, что и безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна

Пример 1. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность равна:

Р_А (В) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле:

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании равна:

Р (А) = 3/6 = 1/2.

Найдем вероятность Р (АВ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором – белый. Общее число исходов – совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений А₆² = 6*5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3*3 = 9 исходов. Следовательно,

Р (АВ) = 9/30 = 3/10.

Искомая условная вероятность равна:

Р_А (В) = Р (АВ)/Р (А) = (3/10)/(1/2)=3/5.

Как видим, получен прежний результат.