Коэффициент корреляции

В тех случаях, когда ограниченность экспериментального материала не позволяет построить закон распределения системы СВ, применяют числовые характеристики. В основу получения ЧХ ССВ положено понятие моментов. Как и для одной СВ различают начальные и центральные моменты.

Начальным моментом порядка системы называется МО произведения -ой степени на -ю степень :

(10)

Формулы для вычисления начальных моментов имеют вид:

для системы ДСВ: , (11)

где - вероятность того, что система примет значения , а суммирование распространяется по всем возможным значениям СВ , .

для системы НСВ: , (12)

где - ПР системы.

На практике наиболее употребительными являются начальные моменты первого порядка:

и ,

которые являются МО СВ и . Эти МО определяют координаты точки, называемой центром рассеивания системы на плоскости.

Центральным моментом порядка системы называется МО произведения -ой и -ой степеней соответствующих центрированных величин:

(13)

Формулы для вычисления центральных моментов имеют вид:

для системы ДСВ:

(14)

для системы НСВ:

(15)

На практике наиболее применимы центральные моменты второго порядка. Два из них представляют собой уже известные нам дисперсии величин и :

которые характеризуют рассеивание случайной точки в направлении осей и .

Особую роль при исследовании СДСВ играет второй смешанный ЦМ , который называется корреляционным моментом, или моментом связи. Он обозначается :

(16)

Эта характеристика помимо рассеивания величин и характеризует взаимное влияние этих величин. Для оценки степени влияния обычно используют не сам момент связи, а безразмерное отношение

, (17)

которое называется коэффициентом корреляции СВ и .

Свойство и : Если СВ и независимы, то корреляционный момент и коэффициент корреляции равны нулю.

Равенство нулю коэффициента корреляции является только необходимым, но не достаточным условием независимости СВ. Это значит, что может существовать система зависимых СВ, коэффициент корреляции которой равен нулю.

Для ДСВ:

(18)

Для НСВ:

(19)

Свойства и :

1. .

►Из (16), раскрывая скобки и используя свойства МО получаем:

◄

2. От прибавления к СВ постоянных величин корреляционный момент и коэффициент корреляции не меняются.

3. Для любых СВ и абсолютная величина корреляционного момента не превосходит среднего геометрического дисперсий данных величин, т.е.

Следствие. Для любых СВ и абсолютная величина коэффициента корреляции не превосходит единицы, т.е.

Две СВ и называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю; и называются коррелированными, если их коэффициент корреляции отличен от нуля.