Алгебраические структуры на множестве

Множество М с определенной на этом множестве операцией f называется алгеброй и обозначается . Операций на множестве может быть несколько.

Операция f называется n-арной, если она всякой упорядоченной системе из n -элементов ставит в соответствии один элемент из того же множества М; обозначают

Одноарной называется операция, которая одному элементу ставит в соответствие один элемент.

n –арная операция называется коммутативной, если ее результат не зависит от порядка элементов

т.е. при

Если операция, определенная на множестве М – коммутативная, то алгебра называется коммутативной. Обозначим

Если , то операция f называется ассоциативной

Множество М, на котором определена ассоциация бинарная, операция называется полугруппой.

Элемент называется левым (правым) единичным элементом для операции f, если для справедливо

Полугруппа, в которой есть единичный элемент, называется маноидом.

Элемент называется обратным левым (правым), если .

Маноид, в котором для любого существует называется группой.

Пример: Определить образует ли группу множество четных натуральных чисел относительно сложения

1. Ассоциативность: ()

2. единичный элемент

3. обратный элемент: , -х – противоположное число

Все 3 условия выполняются, значит М – группа.

Две группы М, Р называются изоморфными, если существует биекция , которая сохраняет операцию умножения в группе. Т.е. для справедливо