Действия над комплексными числами в показательной форме

Показательная форма записи комплексных чисел является наиболее удобной для умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней из комплексных чисел. Покажем основные соотношения, с помощью которых выполняются эти действия.

Пусть заданы два комплексных числа в показательной форме записи:

Z₁ = r ₁× e ^ij1, Z₂ = r ₂× e ^ij2.

Произведение этих чисел равно:

Z₁ Z₂= r ₁ r ₂× e ^i(j1+j2).

Частное от деления чисел определяется по формуле:

Z₁ /Z₂= r ₁ /r ₂× e ^i(j1-j2).

Возведение в целую степень n осуществляется по правилу:

(r × e ^ij)ⁿ = (r)ⁿ× e ^inj.

Для извлечения корня целой степени n используется формула:

, k=0;1;2;…;n-1.

Для сложения или вычитания комплексных чисел, заданных в показательной форме, необходимо их перевести вначале в алгебраическую форму.

Для закрепления усвоения материала пример:

Вычислить комплексное число, записав его в показательной форме:

.

Решение:

.

Вывод: При сложении и вычитании комплексных чисел используется алгебраическая форма записи. При умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня наиболее подходящей является показательная форма записи комплексных чисел.