Кинематика твердого тела

С развитием промышленности появились машины и станки, поэтому возникла необходимость изучить законы передачи движения между отдельными частями механизмов.

Так как исследование всего комплекса вопросов, связанных с взаимодействием сил в машинах и вызываемых этими силами движений, представляло весьма трудную задачу, то сперва решалась более простая задача, т. е. задача движения без учета сил, вызывающих это движение.

Все вопросы, связанные с движением без учета сил, вызывающих это движение, выделялись в особый раздел механики, названный Ампером кинематикой: «это — наука, в которой движения рассматриваются как таковые, которые мы наблюдаем в телах нас окружающих, и особенно в аппаратах, составляющих машины, которой я даю название кинематика» (А.М. Ampẻre. Essai sur la philosophic des siençes. 1835. Paris).

В 1862 г. вышел в свет «Трактат о чистой кинематике» Резаля. В этом сочинении вопросы прикладного характера были опущены. Резаль назвал свое сочинение чистой кинематикой в противовес кинематике Ампера, изучающей геометрию движения машин.

Таким образом, кинематикой стали называть раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения вне связи с силами, определяющими это движение.

Механическое движение непосредственно связано с понятиями «пространство» и «время». Это довольно сложные с философской, физической, любой другой точки зрения категории, которые в теоретической механике определяют с позиций механической (упрощенной) картины мира.

Пространств о – это бесконечная, трехмерная, однородная, изотропная протяженность, не зависящая ни от чего внешнего.

Время – это бесконечная, одномерная, однонаправленная, равномерная длительность, не зависящая ни от чего внешнего.

Положение любого исследуемого объекта (точки, тела) в пространстве всегда рассматривается по отношению к какому-либо другому объекту (телуотсчета ), которое условно считается неподвижным. В зависимости от постановки задачи за тело отсчета можно принять, например, Землю, фундамент машины, корпус судна и другие. Система координат, неизменно связанная с телом отсчета и снабженная часами для измерения времени, называется системойотсчета. Таким образом, в общем случае положение любой точки в выбранной системе отсчета характеризуется тремя геометрическими координатами (например, в декартовой системе – координаты х, у, z) и одной временной координатой – временем t.

Описать (или задать) движение точки – значит, по отношению к выбранной системе отсчета указать ее положение в любой момент времени. Для задания движения точки используют три основных способа: векторный, координатный и естественный.

Векторный способ. Задается векторное уравнение движения точки в виде векторной функции времени t, где –радиус-вектор, проведенный из любой точки О тела отсчета в движущуюся точку М (рис. 4.1). Годограф радиус-вектора – геометрическое место последовательных положении конца радиус-вектора – представляет собой траекторию точки (линия АВ на рис. 10.1).

Координатный способ. В заранее выбранной, связанной с телом отсчета, системе прямоугольных координат задаются уравнения движения точки в координатной форме:

x=x(t), y=y(t), z=z(t),

где х, у, z – координаты движущейся точки М (рис. 3.1). Если точка движется в плоскости, ограничиваются двумя уравнениями, при движении по прямой – одним из трех уравнений движения. Эти же уравнения движения можно рассматривать как уравнения траектории АВ точки в параметрическом виде. Чтобы получить уравнение траектории точки в явном виде, если это возможно, следует из уравнений движения точки в координатной форме исключить параметр – время t.

Рисунок 3.1 Способы задания движения точки

Естественный способ. Этот способ используют, когда заранее известна траектория точки (на рис. 3.1 – линия АВ). Кроме траектории точки, задают начало А и направление положительных соответственно, отсчета положительных (+) и, соответственно, отрицательных (-) дуговых координат S, определяющих положение точки М на траектории, а также закон или уравнение движения точки в естественнойформе как функцию дуговой координаты от времени: S = S (t). Следует различать расстояние AM по прямой, дуговую координату и путь, пройденный точкой за время t, – в общем случае они разные.

Все три способа взаимосвязаны между собой. Между векторным и координатным способами задания движения точки существует непосредственная связь: , где i, j, k – единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей координат х, у, z (рис. 4.1). Чтобы перейти от координатного к естественному способу, нужно сначала найти траекторию точки; начало отсчета дуговых координат обычно совмещают с начальным положением точки; направление отсчета положительных дуговых координат обычно совмещают с направлением движения точки. Уравнение движения в естественной форме получают из дифференциальной зависимости: , где – производные по времени от координат х, у, z движущейся точки М (п. 10.1), S₀ – начальная (при t = 0) дуговая координата точки. Обратный переход от естественного способа к координатному, (а затем и векторному) возможен, если заданная траектория точки (линия АВ на рис. 4.1) может быть описана аналитически. Тогда эту траекторию следует отнести к заранее выбранной прямоугольной системе координат xyz и из геометрических соотношений найти уравнения движения точки x=x(t),y=y(t), z=z(t).

СКОРОСТЬ ТОЧКИ

Одной из кинематических характеристик точки является ее скорость.

Скорость точки – это физическая векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки с течением времени. При анализе движения точки иногда находят ее среднюю скорость (здесь – приращение радиус-вектора точки за конечный промежуток времени ), но важнее уметь находить мгновенную скорость (скорость точки в данный момент времени): . Обычно скорость измеряют в м/с.

Если движение точки задано векторным способом, (мгновенная) скорость точки как вектор определяется производной по времени t от радиус-вектора точки: . При этом вектор скорости точки всегда направлен по касательной к траектории (рис. 3.2).

Если движение точки задано координатным способом, скорость точки находится по проекциям скорости на соответствующие оси координат:

, , ,

модуль скорости: , а направление скорости определяется направляющими косинусами:

, , .

Рисунок 3.2 Скорость и ускорение точки

Если движение точки задано естественным способом, модуль скорости определяется производной по времени t от дуговой координаты S: . Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты, если модуль скорости положительный (v> 0), или в обратную сторону, если v < 0.

Из взаимосвязи между собой всех трех способов задания движения точки вытекает выражение вектора скорости ,а также ,откуда после интегрирования приходим к известной уже дифференциальной зависимости.

Плоскопараллельным (или плоским ) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных одной неподвижной (основной) плоскости.

Если координатную плоскость ху принять за основную (рис. 3.3, а), то окажется, что все отрезки, проведенные в теле перпендикулярно основной плоскости (например, на рис. 5.1, а отрезок CD – перпендикулярно плоскости ху), движутся поступательно. Следовательно, плоское движение тела можно рассматривать как движение одного любого его сечения, параллельного основной плоскости, а о плоскопараллельном движении тела можно говорить как о движении его плоского сечения (или плоской фигуры) в основной плоскости.

Для задания движения плоского сечения в основной плоскости (на рис. 3.3, б – сечения (S) в координатной плоскости ху) достаточно описать движение одной любой точки этого сечения, называемой полюсом (например, точки А на рис. 5.1, б), и добавить уравнение, описывающее вращение сечения в основной плоскости: , , . Эти уравнения называются кинематическими уравнениями плоскопараллельного движения тела. Первые два из этих уравнений описывают поступательную часть плоского движения вместе с полюсом А, а третьеуравнение описывает вращение плоского сечения относительно оси, проходящей через полюс А перпендикулярно основной – плоскости. Суть плоскопараллельного движения в том, что его можно рассматривать каксовокупность одновременно происходящих простейших движений тела – поступательного вместе с полюсом и вращательного относительно полюса.

Рисунок 3.3. – Плоскопараллельное движение тела

По заданным кинематическим уравнениям плоскопараллельного движения можно найти (рис. 3.3, б): скорость и ускорение полюса 1), угловую скорость и угловое ускорение плоского сечения – основные кинематические характеристики плоского движения как совокупности кинематических характеристик простейших движений тела.

Свойства кинематических характеристик плоского движения: скорость и ускорение зависят, а угловая скорость и угловое ускорение не зависят от выбора полюса А.

АБСОЛЮТНОЕ, ОТНОСИТЕЛЬНОЕ И ПЕРЕНОСНОЕ ДВИЖЕНИЯ

Обычно движение точки рассматривается по отношению к условно неподвижной системе отсчета (телу отсчета) или неподвижной системе координат xyz (п. 12.2). Иногда бывает удобным рассматривать движение точки в подвижной системе координат , которая в свою очередь движется в неподвижной системе координат xyz (рис. 3.3, табл. 3.1). В этом случае движение точки рассматривают как сложное или составное – такое, которое состоит из двух или более чем двух простых движений.

Рисунок 3.4 – Составное движение точки

Абсолютным называется движение точки по отношению к неподвижной системе координат xyz, которая связана с условно неподвижным телом. Траектория, скорость и ускорение точки в абсолютном движении называются соответственно абсолютной траекторией, абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Относительным называется движение точки по отношению к подвижной системе координат ,связанной с конкретным движущимся телом. Траектория, скорость и ускорение точки в относительном движении называются соответственно относительной траекторией, относительной скоростью и относительным ускорением .

Переносным называется движение подвижной системы координат (движущегося тела) вместе с находящейся в ней движущейся точкой относительно неподвижной системы координат xyz. Траектория, скорость и ускорение той точки подвижной системы координат (подвижного тела), с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка, называются соответственно переносной траекторией, переносной скоростью и переносным ускорением .

Совокупность приведенных выше определений, связанных с представлением о сложном движении точки, сведена в табл. 3.1.

Таблица 3.1. Представления о сложном движении точки

Движение	Объект движения	Система отсчета	Пример
Абсолютное (а)	Точка М	Неподвижная система координат xyz	Человек относительно земли
Относительное (r)	Точка М	Подвижная система координат	Человек относительно движущегося поезда
Переносное (е)	Подвижная система координат вместе движущейся в ней точки М	Неподвижная система координат xyz	Поезд вместе с движущимся в нем человеком относительно земли

ТЕОРЕМЫ О СЛОЖНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Теорема сложения скоростей при сложном движении точки. Абсолютная скорость при сложном движении точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей: .

Рисунок 3.5 – Теорема сложения скоростей при сложном движении точки.

Если относительная и переносная скорости известны по модулю и направлению (рис. 3.5), модуль абсолютной скорости находят геометрически или аналитически способом проекций либо по теореме косинусов: .

Теорема сложения ускорений при сложном движении точки (теорема Кориолиса). Абсолютное ускорение при сложном движении точки равно геометрической сумме относительного, переносного ускорений и ускорения Кориолиса: . Последняя составляющая в этом векторном равенстве представляет собой ускорение Кориолиса (п. 13.3).

Учитывая, что в общем случае абсолютное, относительное и переносное ускорения раскладываются на касательные и нормальные составляющие, теорему Кориолиса при необходимости используют в развернутой форме: . Такие векторные равенства обычно решают графически или аналитически способом проекций, тогда модуль абсолютного ускорения: , где – проекции абсолютного ускорения на заранее выбранные оси координат.