Лекция №4 тема: Динамика: законы динамики и условия их применения

Кориолисово ускорение. Общие теоремы динамики точки и системы и следствия из них. Относительное движение точки, силы инерции. Теория удара.

Ускорение Кориолиса (добавочное, поворотное ) как вектор равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на вектор относительной скорости: .

Модуль ускорения Кориолиса равен

Рисунок 4.1. Ускорение Кориолиса

Направление ускорения Кориолиса определяют по правилу векторного произведения векторов или по правилу Жуковского (рис. 4.1): вектор относительной скоро­сти нужно спроецировать на плоскость, перпендикулярную век­тору угловой скорости (на рис. 4.1 – ), иначе – оси переносного вращения, и повернуть полученную проекцию на 90⁰ по направлению переносного вращения .

Причин появления ускорения Кориолиса две: 1) изменение направления относительной скорости из-за переносного вращения; 2) изменение модуля переносной скорости из-за относительного движения.

Ускорение Кориолиса при сложном движении точки равно нулю в следующих случаях: 1) если переносное движение является поступательным (); 2) если нет относительного движения (v_r = 0); 3) если векторы относитель­ной скорости и угловой скорости переносного вращения параллельны ().

Динамика - важнейший раздел теоретической механики. Если предметом статики (ч. 1) являются только силы, кинематика (ч. 2) изучает только геометрические свойства движения, то динамика - важнейший раздел теоретической механики, в котором изучается движение различных материальных объектов в зависимости от действующих на них сил.

К основным понятиям динамики относятся, как и в статике, сила. абсолютно твердое тело: как и в кинематике - механическое движение, пространство. время. К специфическим понятиям динамики относится, в первую очередь, понятие материальной точки - простейший объект исследования, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Важное от­личие материальной точки от точки как объекта исследования в кинематике состоит в том, что материальная точка обладает массой. Масса в теоретиче­ской механике - это определенно положительная скалярная величина, являю­щаяся мерой инертности материальной точки и любого другого объекта ис­следования в динамике. Кроме того, что материальная точка обладает массой, она обладает способностью взаимодействовать с другими материальными объектами, и это взаимодействие характеризуется силой.

Другими объектами исследования (материальными объектами) в динамике являются механическая система и абсолютно твердое тело. Механическая система (или система материальных точек) - это совокупность любого ко­личества материальных точек, которые взаимодействуют между собой и рас­сматриваются совместно как объект исследования. Абсолютно твердое тело с точки зрения динамики - это механическая система, расстояния между любы­ми двумя точками которой не меняются, при каких бы то ни было условиях. По аналогии с механической системой можно говорить о системе тел как еще одном объекте исследования в динамике.

Законы динамики

Все содержание динамики строится на законах динамики (аксиомах, зако­нах Ньютона). Первый закон (закон инерции). Свободная материальная точка сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока другие материальные объекты путем силового воздействия на точку не из­менят этого состояния.

Свойство материальной точки сохранять свою скорость постоянной по направлению и величине (в том числе при покое - равной нулю) называется инертностью. Мерой инертности материальной точки является ее масса (п. 3.1.1).

Второй закон (основной закон динамики). Ускорение, получаемое мате­риальной точкой от действия на нее силы, пропорционально модулю силы и направлено в сторону действия силы.

Математически этот закон выражается в виде основного уравнения дина­мики:

где т - масса точки, а - ускорение, получаемое точкой от действия на нее силы F.

Из основного уравнения динамики следует, что если сила на точку не действует (F= 0), то ускорение, скорость v точки остается постоянной по направлению и величине - точка движется прямолинейно и равномерно, в том числе может находиться в состоянии покоя (v= 0). Это значит, что основной закон динамики включает в себя как частный случай закон инерции.

Для свободной материальной точки, находящейся в поле сил тяжести, из основного уравнения динамики следует соотношение между массой и силой тяжести: \mg =Р\, где g — ускорение свободного падения.

Первый и второй законы динамики справедливы только по отношению к абсолютному движению (ч. 2, п. 2.5.1, а также п. 3.8.3), по определению — в так называемых ин ерциальных системах отсчета. Для большинства практических задач за инерциальную можно принять систему отсчета (систему координат), связанную с вращающейся и фактически движущейся Землей.

Третий закон (закон равенства действия и противодействия). При действии одного материального объекта на другой возникает такое же по величине, противоположно направленное противодействие (ч. 1, п. 1.1.2).

Этот закон справедлив не только при взаимодействии соприкасающихся тел (для реакций связей, ч. 1, п. 1.1.3), но и в случае, когда взаимодействующие тела не касаются друг друга (для активных сил). В любом случае, так как силы действия и противодействия приложены к разным материальным объектам, они не образуют уравновешенной системы сил.

Четвертый закон (закон независимости действия сил). Ускорение материальной точки от действия на нее нескольких сил равно геометрической сумме ускорений, получаемых точкой от действия на нее каждой силы в отдельности.

Это означает, что основное уравнение динамики справедливо при действии на точку не только одной, а и нескольких сил:

Иначе та = ^ F^, где n - число действующих на точку сил. В этом смысле по­следнее векторное равенство ничем не отличается от основного уравнения ди­намики, если в нем под силой F подразумевать геометрическую сумму всех сил, действующих на точку: F = ^ F,..

Решение задач динамики точки методом интегрирования дифференциаль­ных уравнений движения в общем случае представляет значительные матема­тические трудности. Еще большие трудности возникают при использовании этого метода к движению механической системы.

Но в большинстве практических случаев нас не интересует движение ка­ждой точки системы отдельно, достаточно знать лишь некоторые обобщен­ные, интегральные характеристики движения системы. Например, для катяще­гося по плоскости диска (диск - механическая система с бесконечно большим числом материальных точек) достаточно знать, как движется центр масс, ка­кую угловую скорость и угловое ускорение имеет диск?

Такие обобщенные характеристики движения можно находить, используя основные (общие) теоремы динамики, справедливые для всех объектов иссле­дования в динамике (п. 3.1.1) - для точки, для механической системы, для тела, для системы тел. Из теорем динамики вытекают соответствующие законы сохранения. Значение законов сохранения выходит далеко за рамки механики, они являются фундаментальными законами физики. В динамике имеют место триосновные теоремы об изменении: количества движения, момента количества движения, кинетической энергии.