Плоскость в пространстве

11.1 Общее уравнение плоскости. Зафиксируем декартову прямоугольную систему координат. Рассмотрим произвольное уравнение первой степени

. (*)

Заметим, что хотя бы один из коэффициентов не равен нулю (иначе это уравнение имело бы нулевую степень). Тогда уравнение (*) имеет хотя бы одно решение , т.е. существует хотя бы одна точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (*): . (**)

Вычтем из уравнения (*) уравнение (**):

. (***)

Уравнение (***) эквивалентно уравнению (*), т.е. если координаты точки удовлетворяют уравнению (*), то они удовлетворяют уравнению (***), и наоборот.

Обозначим вектор с координатами . Пусть - плоскость, проходящая через точку и перпендикулярная вектору . Если точка лежит в плоскости , то вектор перпендикулярен вектору , скалярное произведение этих векторов равно 0. Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*). Если же точка не лежит в плоскости , то векторы и не перпендикулярны, и скалярное произведение этих векторов не равно 0. Значит, в этом случае координаты точки не удовлетворяют уравнению (***) и уравнению (*).

Пусть теперь дана произвольная плоскость. Выберем вектор , перпендикулярный этой плоскости, и произвольную точку , лежащую в этой плоскости. Если произвольная точка плоскости, то векторы и перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0. Тогда координаты точки удовлетворяют уравнению (***) и, следовательно, уравнению (*), являющимся уравнением первой степени. Мы доказали

Утверждение. Произвольная плоскость в пространстве определяется уравнением первой степени. Обратно, любое уравнение первой степени определяет в пространстве плоскость.

Уравнение (*) называется общим уравнением плоскости.

11.2. Нормированное уравнение плоскости. Заметим, что коэффициенты уравнения (*) определены с точностью до пропорциональности. Умножив все коэффициенты на одно и то же не равное нулю число, мы получим новое уравнение, но оно будет задавать ту же плоскость. Если потребовать, чтобы вектор нормали , который до сих пор был произвольным, имел единичную длину, т.е. , то он будет определен однозначно (с точностью до знака). Запишем теперь уравнение плоскости в таком виде: . Этот вид уравнения называют нормированным.

Выясним геометрический смысл коэффициента . Если точка лежит в плоскости , то из равенства следует, что . Так как вектор имеет единичную длину, то .

Значит, - это проекция любого радиус-вектора точки, лежащей на плоскости.

11.3. Уравнение плоскости в отрезках. Общее уравнение плоскости (*) называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля. В противном случае оно называется неполным. Неполные уравнения задают плоскость, проходящую через начало координат, параллельную какой-либо координатной оси или параллельную какой-либо координатной плоскости. Все эти случаи несложно рассмотреть.

Мы же рассмотрим полное уравнение плоскости. Так как все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля, его можно переписать в виде: ,

где . Этот вид уравнения плоскости называется уравнением плоскости в отрезках. Коэффициенты имеют прозрачный геометрический смысл: это длины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях. Чтобы увидеть это, надо найти точки пересечения плоскости с координатными осями. Например, чтобы найти точку пересечения плоскости с осью , надо в уравнении плоскости в отрезках положить . Мы сразу же получим . Остальные точки пересечения находятся аналогично.

11.4. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

Поставим задачу: написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой. Пусть эти точки заданы своими координатами: , , . Так как эти точки не лежат на одной прямой, то векторы и не коллинеарны. Тогда точка принадлежит той же плоскости, что и точки , тогда и только тогда, когда векторы , , компланарны. Это условие равносильно равенству нулю смешанного произведения этих векторов:

.

Это уравнение является уравнением первой степени и дает нам искомое уравнение плоскости.

11.5. Угол между плоскостями. Пусть заданы две плоскости своими общими уравнениями: , .

Очевидно, что вопрос о нахождении угла между плоскостями сводится к нахождению угла между их нормалями:

.

Условие параллельности двух плоскостей сводится к вопросу о коллинеарности векторов нормали: плоскости параллельны тогда и только тогда, когда координаты векторов нормали пропорциональны.

Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормали, т.е. скалярное произведение векторов нормали равно нулю:

.

12. Прямая в пространстве.

12.1 Канонические уравнения прямой в пространстве. Договоримся называть любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, направляющим вектором этой прямой. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельную данному направляющему вектору . Заметим, что точка лежит на этой прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Это означает, что координаты этих векторов пропорциональны: .

Эти уравнения называют каноническими. Заметим, что одна или две координаты направляющего вектора могут оказаться равными нулю. Но мы воспринимаем это как пропорцию: мы понимаем как равенство .

12.2. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Откладывая от точки векторы для различных значений , коллинеарные направляющему вектору, мы будем получать на конце отложенных векторов различные точки нашей прямой. Из равенства следует:

или

Переменную величину называют параметром. Поскольку для любой точки прямой найдется соответствующее значение параметра и поскольку различным значениям параметра соответствуют различные точки прямой, то существует взаимно однозначное соответствие между значениями параметра и точками прямой. Когда параметр пробегает все действительные числа от до , соответствующая точка пробегает всю прямую.

Очевидна механическая интерпретация параметрических уравнений. Если считать, что - это время, - начальное положение точки при , вектор - постоянный вектор скорости, то параметрические уравнения описывают закон равномерного движения точки.

Параметрические уравнение легко получаются из канонических уравнений: достаточно лишь приравнять три отношения, участвующие в канонических уравнениях, к параметру .

12.3. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки. Пусть даны две точки и . Чтобы найти канонические уравнения прямой, проходящей через эти точки, заметим, что вектор является направляющим вектором этой прямой. Тогда искомые уравнения имеют вид:

.

12.4. Угол между двумя прямыми. Задача нахождения угла между двумя прямыми сводится к нахождению угла между их направляющими векторами. Если прямые заданы своими каноническими уравнениями

и ,

то векторы и являются их направляющими векторами. Тогда косинус угла между прямыми можно найти, используя скалярное произведение:

.

Прямые параллельны, если коллинеарны их направляющие векторы:

.

Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы, т.е. их скалярное произведение равно нулю: .

12.5. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. В пространстве взаимное расположение двух прямых может быть следующим: 1) эти прямые параллельны (в частности, совпадают), 2) они пересекаются, 3) они скрещиваются. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости. Найдем, когда две прямые принадлежат одной плоскости. Пусть эти прямые заданы своими каноническими уравнениями и , Рассмотрим три вектора: , и . Для того, чтобы прямые принадлежали одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарны. Это выполняется тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю, т.е.

.

Если при этом координаты направляющих векторов пропорциональны, то эти прямые параллельны.

12.6. Взаимное расположение прямой и плоскости. Пусть нам заданы прямая

и плоскость . Так как угол между прямой и плоскостью и угол между прямой и нормальным вектором к плоскости связаны очевидным равенством , то . Поэтому .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости соответствует коллинеарности направляющего вектора прямой и нормали к плоскости.

Условие параллельности прямой и плоскости – или перпендикулярности прямой и нормального вектора к плоскости - можно записать в виде . Частный случай параллельности – прямая принадлежит плоскости – выполняется, если еще и какая-нибудь точка прямой принадлежит плоскости, например, выполняется равенство .

12.7. Расстояние от точки до плоскости. Пусть нам заданы точка и плоскость . Проведем через точку прямую, перпендикулярную плоскости. Заметим, что вектор нормали к плоскости может служить направляющим вектором этой прямой: .

Перейдем к параметрическим уравнениям:

Найдем, при каком значении параметра точка прямой будет принадлежать плоскости. Для этого подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости и решим получившееся уравнение относительно :

Расстояние от точки до точки, соответствующей этому значению параметра, равно длине вектора . Нам осталось найти эту длину:

Это и есть расстояние от точки до плоскости.