Парабола

Параболой называется множество точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.

Тогда уравнение параболы примет вид:

;

уравнение директрисы ;

уравнение директрисы

; ;

уравнение директрисы уравнение директрисы

Задача. Определить координаты фокуса и составить уравнение директрисы параболы .

Решение. Сравнивая это уравнение с уравнением (1), находим, что , откуда . Таким образом, точка - фокус параболы, а прямая - ее директриса.

Задача. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке .

Решение. Фокус параболы лежит на оси ординат, а вершина – в начале координат, поэтому уравнение параболы можно записать либо в виде , либо в виде . Далее, поскольку ордината фокуса отрицательна, уравнение параболы следует искать в виде . Фокусное расстояние параболы , откуда и окончательно получаем .

Задача. Показать, что уравнение

Представляет собой уравнение параболы.

Решение. Приведем данное уравнение к простейшему виду. Для этого выразим y через x и в полученном выражении выделим полный квадрат:

, или ,

Т.е.

,

Откуда

.

Следовательно,

, или .