2015-06-28
2053
Определение 12. Проекцией вектора 
на ось l называется длина вектора 
этой оси, заключенного между проекциями a и b его начальной точки А и конечной точки В, взятая со знаком «плюс», если направление совпадает с направлением оси l, и со знаком «минус», если эти направления противоположны.
, 
Замечание. Проекцией точки А на ось l называется точка А 0 такая, что прямая АА 0 пересекает ось l под углом 900 в точке А 0.
Теоремы о проекциях:
Теорема 2. 
, где α – угол между вектором и положительным направлением оси l.
Теорема 3. 
. Проекция ломаной равна проекции замыкающего контура.
Теорема 4. 
. (без доказательства)
Определение 13. Проекции вектора на координатные оси называются координатами вектора.
, 
координаты вектора 
. Если A (x 1, y 1, z 1), B (x 2, y 2, z 2), то
Длина вектора находится по формуле:
.
Следствие из теоремы 1. Вектор 
коллинеарен вектору 
тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны: 
.
Замечание 1. 
, где λ – коэффициент пропорциональности.
Замечание 2. 
.
Ортами координатных осей (Ох), (Оy), (Оz) называются векторы 
соответственно. 
.
Рассмотрим радиус-вектор , построенный на векторах 
(по правилу параллелепипеда), причем 
, 
, 
: 
(*).
Так как 
, то подставив в (*), получим
разложение вектора по ортам .
Пусть α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, тогда в силу теоремы 2 получим, что 
Определение 14. Направляющими косинусами вектора называются 
, где α, β, γ – углы между вектором и координатными осями, причем 
, 
, 
.
Замечание. Из определения видно, что направляющие косинусы являются координатами орта вектора , т.е.
.
Теорема (о направляющих косинусах). Сумма квадратов направляющих косинусов равна 1:
.
(доказать самостоятельно)
Определение 15. Даны два вектора и , тогда координаты вектора их суммы и разности вычисляются по формулам:
, 
.
Определение 16. Произведением вектора на действительное число λ называется вектор 
такой, что 
.
Замечание. Для вектора 
n -мерного пространства справедливы все определения и теоремы.
Пример. Даны точкиМ1(2; 1), М2(–1;3) и вектор 
. Найти длину и направление вектора 
, координаты его орта, проверить коллинеарность векторов и , найти координаты вектора – 2 .
Решение. Найдем координаты вектора 
.
.
Найдем направляющие косинусы: 
, 
. Отсюда, 
, следовательно, 
, 
.
Координаты орта по замечанию к определению 14: 
.
По следствию к теореме 1 проверим коллинеарность векторов: для коллинеарности должно выполняться условие 
. Проверим: 
, следовательно, векторы и не коллинеарны.
Найдем координаты вектора – 2 .
Сначала найдем координаты вектора 
по определению 16: 
,
тогда по определению 15:
– 2 
.
