Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции	Запасы ресурсов
I вид	II вид	III вид
Труд Сырье Оборудование
Цена изделия

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

РЕШЕНИЕ:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем переменные:

Х₁ – количество единиц изделий I вида;

Х₂ – количество единиц изделий II вида;

Х₃ – количество единиц изделий III вида;

Составим целевую функцию:

- общая стоимость всех изделий;

Составим ограничения:

- расход ресурса труд на производство изделий всех видов;

200 – запас ресурса труд.

- расход сырья на производство изделий всех видов;

80 – запас сырья.

расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;

140 – запас рабочего времени оборудования.

Для нахождения оптимального плана используем надстройку Excel Поиск решения. Процесс решения представлен в протоколе решения (Приложение 1).

Ответ: при Х₁ = 40; Х₂ = 40, Х₃ = 0.

Экономический смысл: максимальную выручку от реализации готовой продукции в 4000 ден. ед. можно получить, если изготавливать изделия I вида в количестве 40 шт., изделия II вида в количестве 40 шт., а изделия III вида не производить совсем.

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

1) Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений, столбца свободных членов и дополнительной строки из коэффициентов при переменных функции цели.

2) Транспонируем эту матрицу:

3) По полученной матрице, используя свойство двойственных ЗЛП, составим двойственную задачу.

Переменные:

у₁ – цена единицы ресурса труд;

у₂ – цена единицы сырья;

у₃ – цена единицы ресурса оборудование;

Функция цели:

- общая стоимость запасов всех видов ресурсов

Ограничения:

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие I вида; 40 – цена изделия I вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие II вида; 60 – цена изделия II вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие III вида; 80 – цена изделия III вида.

4) Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя условия второй теоремы двойственности. Эти условия применяются для нахождения оптимального решения одной из задач, если известно оптимальное решение другой.

Получаем систему уравнений:

Решая ее относительно неизвестных параметров, получаем: у₁ = 6,67, у₂ = 33,33, у₃ = 0.

План выпуска продукции и набор цен на ресурсы являются оптимальными тогда и только тогда, когда выручка от реализации готовой продукции по внешним ценам равна затратам на ресурсы по внутренним ценам.

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Нулевое значение переменной Х₃ в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.

- затраты на изготовление продукции третьего вида.

80 – цена едини продукции его вида.

86,67 > 80, затраты на изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.

4. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

· проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- расход ресурса труд на производство изделий всех видов;

40 + 4*40 + 3*0 = 200

200 – запас ресурса труд.

200 = 200, следовательно ресурс труд расходуется полностью, является дефицитным.

- расход сырья на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 0 = 80

80 – запас сырья.

80 = 80, значит ресурс сырье расходуется полностью, является дефицитным.

расход рабочего времени оборудования на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 2*0 = 80

140 – запас рабочего времени оборудования.

80 < 140, следовательно ресурс оборудование расходуется не полностью, он находится в избытке, не является дефицитным, его ценность равна нулю.

Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y ₂=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y ₁=6,67).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу — на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y ₃ = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость.

· определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

-изменение запаса ресурса вида i;

-изменение общей стоимости продукции.

Применим формулу из третьей теоремы двойственности:

(ден. ед.)

Значит стоимость продукции увеличиться на 600 ден. единиц и станет равной 4 600 (4000 + 600 = 4600)

Модель задачи при измененных запасах ресурсов будет иметь вид:

Х'₁ – количество единиц изделий I вида;

Х'₂ – количество единиц изделий II вида;

Х'₃ – количество единиц изделий III вида;

Применяем формулы из второй теоремы двойственности

Получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем новый оптимальный план выпуска продукции .

Т.е. при увеличении запасов сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия I вида в количестве 64 ед. и изделия II вида в количестве 34 ед.

(ед.), т.е. выпуск изделий I вида А увеличится на 24 единицы.

(ед.), т.е. выпуск изделий II вида уменьшиться на 6 единиц.

- выпуск изделий III вида не изменится, их выпускать по прежнему не выгодно.

· оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов

Применяем формулу из третьей теоремы двойственности:

- цена изделия вида j.

- объективно обусловленные затраты на сырье при выпуске изделия j.

С₄ = 70; а₁₄ = 2; а₂₄ = 2; а₃₄ = 2.

Поскольку , следовательно, продукцию четвертого вида выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие четвертого вида реализовывалось по цене равной или большей 80 ед., то его производство было бы выгодным