Уровневая система повторного заказа

МОДЕЛЬ I: ДОСТИЖЕНИЕ МИНИМАЛЬНОГО УРОВНЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ Необходимо принять решение по двум следующим вопросам:

1. Каково значение фиксированного размера заказа q?

2. При каком уровне запасов следует сделать новый заказ? Эта величина называется уровнем повторного заказа R.

Суть алгоритма состоит в том, чтобы с помощью модели EOQ зафиксировать размер повторного заказа, а затем на этой основе выбрать соответствующее значение уровня повторного заказа. Данный алгоритм не всегда приводит к получению наилучшего решения, однако он позволяет найти достаточно хорошее решение. Для того чтобы зафиксировать уровень повторного заказа необходимо знать, как меняется величина спроса в течение исполнения заказа и ожидаемое значение уровня обслуживания. Общее решение покажем на следующем примере.

□ Пример 11.6. Промышленная компания "James" в одном из технологических процессов использует деталь X. Эти детали закупаются у внешнего поставщика. Спрос компании на детали X периодически меняется, однако приблизительно его можно описать с помощью нормального распределения со средним значением, равным 80 деталям в день. Стандартное отклонение спроса составляет 10 деталей в день. Стоимость каждой детали равна 0,50 ф. ст. Как было оценено, за каждый заказ поставщик взимает плату в 25 ф. ст. Время поставки заказа поставщиком фиксировано и составляет 8 дней. По оценкам специалистов компании "James. издержки хранения составляют 20% среднегодовой стоимости запасов. Компания работает 5 дней в неделю в течение 50 недель в году.

Какое количество деталей должна заказывать компания "James" каждый раз и каким должен быть уровень повторного заказа, если нехватка запасов в среднем

380 Ч. 3. Планирование в бизнесе

более чем в 20 циклах нежелательна для компании? Каков размер резервного запаса, соответствующего данному уровню повторного заказа?

Решение.

Для определения нужного размера предположим, что спрос является постоян­ным и зафиксирован на уровне среднего значения.

Cq = 25 ф. ст. за один заказ;

D = 80 х 5 х 50 = 20000 деталей в год (в среднем);

С[, = 20% от 0,50 ф. ст. = 0,10 ф. ст. за одну деталь в год.

Если предполагается, что спрос постоянен, то экономичный размер заказа определяется по следующей формуле:

q₀ =V 2С„ D/C_h = V2x 25x20000/0,1 = 3162,3.

В качестве размера заказа примем значение, равное 3162 деталей. Максималь­но допустимый уровень нехватки запасов, как было задано априорно, составляет 1 из 20 циклов, т.е. в среднем только в 5% циклов допускается нехватка запасов. Следовательно, уровень обслуживания равен 95%. Поскольку спрос за день аппроксимируется нормальным распределением, спрос в течение поставки также распределен по нормальному закону при условии, что предполагается независи­мость спроса в любой день от его величины в другие дни.

Среднее значение спроса в течение 8 дней времени поставки составляет: 80 х 8 = 640 деталей. Дисперсия спроса в течение поставки заказа равна: 8 х дисперсия спроса за день = 8 х 10, следов ательно, стандартное отклонение спроса в течение поставки составит: V 8 х 10² = 28,28 деталей. Распределение спроса в течение поставки показано на рис. 11.14.

су ■■ 28,3 единиц _ _

Через R не удовлетворяется 5% спроса Черв! R удовлетворяется 95% спроса

640 R Спрос в течение 8 дней

Рис. 11.14. Распределение спроса ■ течение поставки

Уровень повторного заказа R выбирается с тем условием, чтобы вероятность, что величина спроса в течение поставки окажется меньше уровня повторного заказа, была не менее 0,95, т.е. Р (величина спроса в течение поставки < R) > 0,95.

R представляет собой z стандартных отклонений от среднего, где

R-640 ^Z" 28,3

По таблицам стандартного нормального распределения находим, что если Р (z > (R - 640)/28,3) = 0,05, то z = 1,645. Следовательно,

Гл. 11. Планирование и управление запасами 381

и

R = 686,55.

Зафиксируем уровень повторного заказа на уровне 687 деталей. Следовательно, резервный запас составит 47 деталей. Этот запас необходим для обеспечения колеблемости спроса и требуемого уровня обслуживания. Предполагается, что 47 деталей находятся в запасе в течение всего периода, таким образом, в данном случае среднегодовой уровень запаса равен (q/2 + 47) деталям.

Если не учитывать величину стоимости нехватки запасов, то общая годовая переменная стоимость определяется как

ТС = С₀ D/q + C_h (q/2 + резервный запас) = = 25 х 20000/3162 +0,10 х (3162/2 + 47) = = 158,13 + 162,8 = 320,93 ф. ст. в год.

Стоимость резервного запаса равна: (0,1 х 47) = 4,70 ф. ст. в год.

МОДЕЛЬ II: ДОСТИЖЕНИЕ МИНИМАЛЬНОЙ СТОИМОСТИ Необходимо принять решение по тем же вопросам, которые были сформулирова­ны для модели I, с использованием такого же алгоритма. Исследуем проблему, поставленную в примере 11.6, с точки зрения минимизации общей переменной стоимости за год.

LJ Пример 11.7. Вернемся к примеру 11.6. Если возникает нехватка запасов, то процесс производства в компании "James" останавливается, следовательно, при приближении кризиса компания посылает местному поставщику багажный фургон для закупки дополнительной партии деталей. По оценкам фирмы, дополнительная стоимость этой операции составляет 1 ф. ст. за одну деталь.

Какое количество деталей должна заказывать компания "James" единовремен­но и каким должен быть уровень повторного заказа, если ее целью является минимизация общей переменной стоимости за год? Каков размер резервного запаса, соответствующий данному уровню повторного заказа?

Решение

Общая переменная стоимость за год = Годовая стоимость подачи заказа + + Годовые издержки хранения стандартного запаса + + Годовые издержки хранения резервного запаса + + Годовая стоимость нехватки запасов.

Фиксированный размер запаса является таким же, как и в примере 11.6, т.е. составляет 3162 деталей в одном заказе, следовательно,

ТС = С₀ D/q + Ch q/2 + C_h x (резервный запас) + С_ь х

х (математическое ожидание единиц продукции, составляющих

нехватку запасов, в год) = 25 х 20000/3162 + 0,1 х 3162/2 + 0,1 х х (резервный запас) + 1 х (математическое ожидание количества

единиц продукции, составляющей нехватку запасов, в год).

382 Ч. 3. Планирование в бизнесе

Мы должны выбрать значение резервного запаса, минимизирующее суммарное значение последних двух компонент общей стоимости. По мере увеличения резерв­ного запаса издержки хранения также возрастают, а математическое ожидание количества единиц продукции, составляющей нехватку запаса, снижается, следо­вательно, снижается и стоимость отсутствия запасов, и наоборот. Необходимо определить размер резервного запаса, обеспечивающий наилучшее соотношение этих двух величин. Метод, который будет нами использоваться, основан на теории "проб и ошибок".

В данном примере спрос в течение поставки заказа аппроксимируется непре­рывным распределением, следовательно, мы должны найти особую точку данного распределения, в которой следует рассчитать и сопоставить стоимость нехватки запасов и издержек хранения резервного запаса. Проверку указанных значений будем производить с интервалом в 10 деталей. Данный интервал выбирается для удобства расчетов, кроме того, поскольку детали являются относительно недорогими, шаг в 10 деталей является достаточно надежным и обоснованным.

Если спрос в течение поставки не превосходит своего среднего значения, нехватки запасов не появится. Проблемы возникают только в том случае, если значение спроса в течение поставки выше среднего.

Таблица 11.3. Расчет вероятности различных значений спроса

в течение поставки с использованием нормального распределения

с ц - 640 и а - 28,3 единиц за 8 дней

Приближенное	Вероятность	Резервный запас,
значение спроса	появления	требующийся
в течение поставки •	этого значения*	для удовлетворения этого спроса
	0,135
	0,134
	0,109
	0,082
	0,052
	0,030
	0,016
	0,007
	0,003

*При оценке вероятности значение спроса в 640 деталей представляет промежуток от 635 до 645 деталей. Вероятность Р (635 £ спрос S 645) = 0,135 находится с помощью таблиц стандарт­ного нормального распределения. Остальные значения рассчитываются аналогично.

Для каждого из выбранных значений резервного запаса вычисляется матема­тическое ожидание количества нехваток запаса в течение цикла. Затем данное значение умножается на число циклог запаса в год, что дает нам математическое ожидание количества нехваток запаса в течение года. Учитывая издержки хране­ния дополнительного запаса (0,10 ф. ст. за единицу) и ожидаемую стоимость нехватки запасов (ф. ст. за единицу), мы можем получить ожидаемую величину общей годовой стоимости, соответствующую данному уровню резервного запаса. Как правило, эти две стоимости равномерно уменьшаются, пока не достигнут

Гл. П. Планирование и управление запасами 383

минимального значения, а затем снова начинают возрастать. Как только значения стоимости начинают возрастать, необходимость в дальнейших расчетах отпадает. Число циклов запаса в год составит: 20000/3162 = 6,3 (Примечание: в приведенных ниже расчетах предполагается, что вероятность того, что спрос за время поставки превысит 720 деталей, равна нулю).

Таблица 11.4. Издержки, соответствующие различным уровням резервного запаса

Резервный запас	Удовлетво­ренный спрос	Математическое ожидание числа нехваток запасов	Стоимость, ф. ст. в год
в течение цикла	в течение года	Нехватки запасов	Резервного запаса	Общая
80 70 60 50	720 710 700 690	10x0,003= =0,03 20x0,003+ +10x0,007= =0,13 30x0,003+ +20x0,007+ +10x0,016= =0,39	0,03x6,3= =0,19 0,13x6,3= =0,82 0,39x6,3= =2,46	0 0,19x1 0,82x1 2,46x1	80x0,10=8 70Ф0,10=7 60ФО,10=6 50Ф0,10=5	8,00 7,19 6,82 7,46

Поскольку общая ожидаемая стоимость за год возрастает, можно предположить, что свое минимальное значение она принимает, когда резервный запас равен 60 деталям. Общая переменная стоимость за год равна:

ТС = 25 х 20000/3162 + 0,1 х 3162/2 + 0,1 х резервный запас +

+ 1 х математическое ожидание количества нехваток запасов в год = = 158,1 + 158,1 + 0,1 х 60 + 1 х 0,82 = 323,02 ф. ст. в год.

Это значение получено с достаточной степенью приближенности, однако вероят­нее всего оно является наилучшим значением, которое можно получить довольно просто. В данном случае переменная стоимость запасов достаточно мала по сравне­нию со стоимостью закупки продукции (0,50 ф. ст. х 20000 = 10000 ф. ст. в год).

□ Пример 11.8. Компания P&R — крупный оптовый магазин по продаже электротоваров за наличный и безналичный расчет. Магазин производит закупку телевизоров наиболее популярной марки у непосредственного производителя по цене 250 ф. ст. за единицу. Средний объем продаж за 300 дней года составляет 475 телевизоров. Подача каждого заказа обходится компании в 50 ф- ст. Было оценено, что издержки хранения составляют 15% среднегодовой стоимости запасов.

Время поставки заказа — три дня. По данным о последних 50 циклах заказа было получено следующее распределение частот для спроса:

384 ___________________ Ч. 3. Планирование в бизнесе

Таблица 11.5

Спрос на телевизо­ры в течение поставки, шт.
Число циклов запаса

Каждый раз, когда запас товаров исчерпывается, администрация оптового магази­на подает срочный заказ. Дополнительная стоимость этого заказа, включая издержки выполнения заказов покупателей, оценивается приблизительно в 20 ф. ст. за телевизор.. Какое количество телевизоров компания P&R должна заказывать единовре­менно и каким должен быть уровень повторного заказа в условиях, когда цель администрации компании состоит в минимизации стоимости? Насколько велик размер резервного запаса, соответствующий данному уровню повторного заказа?

Решение

Общая переменная стоимость за год = Годовая стоимость подачи заказа + + Годовые издержки хранения стандартного запаса + + Годовые издержки хранения резервного запаса + + Годовые издержки отсутствия запасов.

Сд = 50 ф. ст. за заказ; D = 475 телевизоров в среднем за год; С|, = 0,15 х 250 ф. ст. = 37,50 ф. ст. за телевизор в год; С = 250 ф. ст. за телевизор; С(, = 20 ф. ст. за телевизор.

Используя среднее значение спроса и зафиксировав размер заказа на уровне EOQ, получим:

q = V 2 х 50 х 475/37,5» 35,6.

В качестве фиксированного размера заказа выберем значение, равное 36 телевизорам.

ТС = С₀ D/q + Cj, q/2 + C_h x (резервный запас) + С_ь х

х (математическое ожидание числа изделий, составляющих

нехватку запасов, за год) = 50 х 475/36 + 37,5 х 36/2 + 37,5 х х резервный запас + 20 х математическое ожидание размера

нехватки запасов за год = 1334,72 + 37,5 (резервный запас) + 20 х х (математическое ожидание размера нехватки запасов за год) (ф. ст. в год).

Необходимо определить такой размер резервного запаса, при котором достигается минимум двух последних видов издержек. Если спрос в течение поставки не превышает среднего значения, нехватка запасов отсутствует. Проблема возникает только в том случае, когда спрос в течение поставки превышает его средний уровень.

Средний спрос за день составляет: 475/300 = 1,58 телевизоров. Таким образом, средний спрос в течение поставки определяется как 1,58 х 3 = 4,75. Допустив некоторую погрешность в округлении, решим, что спрос равен 4 телевизорам. Распределение вероятностей значений спроса за время поставки можно найти из соответствующего распределения частот:

1л. 11. Планирование и управление запасами 385

Таблица 11.6. Распределение вероятностей значений спроса аа период поставки

Спрос на телевизо­ры за время поставки, шт.
Число циклов запаса
Вероятность	0,02	0,04	0,12	0,16	0,20	0,16	0,16	0,10	0,04

Таблица 11.7. Размер резервного запаса, необходимый для соответствующих значений спроса за время поставки

Спрос в течение поставки	Вероятность появления такого спроса	Резервный запас, необходимый для удовлетворения данною спроса
4 5 6 7 8	0,20 0,16 0,16 0,10 0,04	0 1 2 3 4

Для каждого из указанных значений резервного запаса вычислим математическое ожидание размера нехватки запасов в течение одного цикла. Затем, умножив полученное значение на количество циклов в течение года, получим математическое ожидание размера нехватки запасов в течение года. Для того чтобы получить ожидаемое значение общей стоимости, соответствующее данному размеру резервного запаса, необходимо принять во внимание издержки хранения дополнительного запаса (37,5 ф. ст. за единицу продукции) и расходы, связанные с нехваткой запасов (20 ф. ст. за единицу продукции). Количество циклов запаса составит за год: 475/36 = 13,2.

Таблица 11.8. Значения стоимости, соответствующие различному размеру резервного запаса

Резервный запас	Удовлетво­ренный спрос	Математическое ожидание нехватки запасов	Стоимость, ф. ст. в год
в течение цикла	в течение года	Нехватки запасов	Резервного запаса	Общая
4 3 2 1	8 7 6 5	1x0,4= =0,4 2x0,04+ +1x0,01= =0,18 Зх0,04+2х х0,1+1х0,16= =0,48	0,04x13,2= =0,528 0,18x13,2= =2,376 0,48x13,2= =6,336	0,528x20= =10,56 2,376 х 20= = 47,52 6,336x20= = 126,72	4x37,5=15 3x37,5= =112,5 2 х 37,5 = =75 1 х 37,5 = =37,5	150,0 123,1 122,5 164,2

386 Ч. 3. Планирование в бизнесе

Ожидаемое значение общей стоимости возрастает, следовательно, можно пред­положить, что ее минимум достигается в случае, когда резервный запас состоит из 2 телевизоров. Если предположить, что среднее значение спроса в течение времени поставки равно 4, уровень повторного заказа составит: 4+2 = 6 телевизоров. В этом случае общая переменная стоимость за год будет равна:

ТС = 1334,72 + 37,5 х (резервный запас) + 20 х

+ (математическое ожидание размера нехватки запаса за год) = = 1334,72 +75,0 + 47,52 = 1457,24 ф. ст. в год.

Чтобы минимизировать годовой показатель общей переменной стоимости запасов, администрация компании должна периодически заказывать партии телевизоров объемом 36 штук, когда уровень запасов снижается до 6 единиц.