Непротиворечивость системы аксиом евклидова пространства

Зададим структуру трехмерного евклидова пространства или, короче, определим пространство следующим образом.

Определение [1.1]. Пусть имеется — трехмерное векторное пространство, построенное над полем вещественных чисел и пусть — некоторое непустое множество.

Элементы пространства обозначим , , , …и назовем векторами;

элементы поля — вещественные числа , , , …;

элементы множества — точки , , , ….

Тогда множество называется трехмерным евклидовым пространством, если задано отображение : , которое каждой паре точек , ставит в соответствие единственный вектор , обозначаемый , так, что выполняются следующие свойства:

, : (т. е. от любой точки можно отложить единственным образом вектор ).

Для любых трех точек , , выполняется равенство

(аксиома треугольника).

Пространство — трехмерное евклидово векторное пространство, т. е. в пространстве задана билинейная форма, называемая скалярным произведением, которая каждой паре векторов , ставит в соответствие число, обозначаемое и удовлетворяющее свойствам:

1) (), () (коммутативность),

2) (), (), () (ассоциативность умножения на число),

3) (), (), () ,

4) скалярный квадрат является неотрицателеным числом, при этом .

Базой в структуре трехмерного евклидова пространства является точечное пространство . Векторное пространство называется пространством переносов евклидова пространства , это вспомогательное множество.

Заметим, что для определения пространства переносов надо, в свою очередь, задать:

— множество и множество вещественных чисел,

— отношения " сумма векторов " и " умножение вектора на число ",

— свойства, которым эти отношения удовлетворяют, т. е. аксиомы векторного пространства.

В свою очередь, поле вещественных чисел тоже определяется аксиоматически.

Таким образом, математическая структура трехмерного евклидова пространства довольно сложная, но мы полагаем, что математические теории трехмерного евклидова векторного пространства и поля вещественных чисел построены.

Из всего сказанного следует, что основными отношениями, задающими структуру пространства , являются: — сложение векторов, — умножение вектора на число, — откладывание вектора, — скалярное умножение. Аксиомы структуры — это свойства , , в его определении. Система всех аксиом, лежащих в основе определения пространства , называется системой аксиом Вейля.

Теорема [1.1]. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства непротиворечива постольку, поскольку непротиворечива арифметика вещественных чисел.