Основные свойства предельной функции равномерно сходящейся функциональной последовательности и суммы равномерно сходящегося функционального ряда

Пусть функциональная последовательность (была (1)) сходится равномерно к предельной функции на числовом промежутке M.

Th 1. О непрерывности предельной функции.

Пусть все функции функциональной последовательности (1) непрерывны на M, тогда и предельная функция непрерывна на множестве M.

□ Пусть произвольная точка множества M. Возьмем произвольно .

В силу равномерной сходимости функциональной последовательности (1) найдется N для которого для любого x и в частности . (12)

В силу непрерывности функции в точке для взятого и (13)

выполняется . (14)

Тогда при всех x удовлетворяющих (13) в силу (12) и (14) будет выполняться .

■