Степенные ряды применяют при вычислении определенных интегралов. Для этого раскладывают подынтегральную функцию в степенной ряд и вычисляют полученный интеграл почленно.
I
.
В тех случаях, когда не удается решить дифференциальное уравнение, его можно решить с помощью рядов.
I Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами . Это уравнение не соответствует ни одному из трех типов дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
Предположим, что функция , являющаяся решением уравнения, разложена в степенной ряд . Тогда , .
Подставим это разложение в дифференциальное уравнение .
Заменим в первой сумме , .
Это уравнение преобразуется в тождество, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x:
: , : , : ,
: ,... : .
Из последнего равенства следует: , и рекуррентное соотношение , которое позволяет выразить остальные коэффициенты через , , , :
, , ,
или
В результате точное общее решение уравнения имеет вид:
, или
|
|
Приближенное частное решение задачи Коши можно определять другим способом:
I , если , .
Воспользуемся разложением решения в ряд Маклорена .
Найдем производные, подставляя в исходное уравнение начальные условия и дифференцируя его.
, , , , ,
,...
Получим приближенное решение