Введение
Цифровая обработка сигналов (ЦОС) – наука, изучающая методы и алгоритмы обработки цифровых сигналов и занимающаяся разработкой аппаратных и программных решений соответствующих систем.
Общие вопросы описания процессов в цифровых системах управления подробно рассмотрены в [3].
Множество задач, решаемых ЦОС, подразделяется на две группы: анализ сигналов и их синтез. Задачей анализа сигналов является выделение небольшой группы значимых параметров, максимально полно описывающих сигнал. Синтез сигналов по совокупности описывающих их параметров – процедура, обратная анализу.
В основе решения этих задач лежат три основных типа преобразований:
– вычисление свертки последовательностей;
– вычисление корреляционных функций;
– дискретное преобразование Фурье.
Цифровой фильтр – это линейная импульсная система, которая осуществляет преобразование входного сигнала в соответствии с заданной амплитудно-частотной (АЧХ) или фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Данное учебное пособие посвящено рассмотрению вопросов цифровой фильтрации, которые являются основой синтеза цифровых сигналов. Представленный материал структурирован в соответствии с классификацией фильтров на одномерные и многомерные; нерекурсивные и рекурсивные. Большое внимание уделено такой быстро развивающейся и широко применяемой области цифровой фильтрации, как обработка цифровых изображений. Изложенный в конспекте теоретический материал закрепляется в ходе выполнения соответствующих практических и лабораторных работ [14,15].
Фильтры с конечной импульсной характеристикой
Структурная схема фильтров с конечной импульсной характеристикой
Фильтры c конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры, FIR -фильтры (Finite Impulse Response Filter)) длиной N в общем случае описываются следующим разностным уравнением [6]:
, (1.1)
где – входной сигнал фильтра;
– выходной сигнал фильтра;
– коэффициенты фильтра.
Передаточная функция КИХ-фильтра получается в результате применения к разностному уравнению (2.2.1) –преобразования и равна:
. (1.2)
Структурная схема КИХ-фильтра представлена на рис. 1.1.
Простейшим примером КИХ-фильтра является вычисление скользящего среднего:
. (1.3)
Если на вход такого фильтра подать единичную ступеньку, то выходные значения будут нарастать до установившего значения в течение – периода дискретизации. Если
Рис. 1.2. Реакция на единичную ступеньку скользящего среднего
,
то
;
;
;
…
;
.
Импульсная характеристика фильтра представлена на рис. 1.2. Как видно из рисунка величина запаздывания будет расти с ростом порядка фильтра (его длины) и равна периодов дискретизации (рис. 1.3).
Если длина фильтра , то разностное уравнение (1.3) имеет вид:
,
Передаточная функция описывается выражением:
.
Рис. 1.3. Реакция скользящего среднего на одиночный единичный импульс
Рис. 1.4. АЧХ скользящего среднего длины 2.
АЧХ такого фильтра представлена на рис. 1.4:
,
где – период дискретизации.